名古屋大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
点 $A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。条件は $$k(\vec{a}-\vec{p})+4(\vec{b}-\vec{p})+(\vec{c}-\vec{p})=\vec{0}$$ である。整理すると $$k\vec{a}+4\vec{b}+\vec{c}-(k+5)\vec{p}=\vec{0}$$ だから、$k>-5$ より $k+5\mathrm{\ne }0$ で $$\vec{p}={\displaystyle \frac{k\vec{a}+4\vec{b}+\vec{c}}{k+5}}$$ である。

ここで、点 $M$ を $$\vec{m}={\displaystyle \frac{4\vec{b}+\vec{c}}{5}}$$ で定める。これは $BC$ を $1:4$ に内分する点である。この $\vec{m}$ を使うと $$\vec{p}={\displaystyle \frac{k}{k+5}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{5}{k+5}}\vec{m}$$ である。さらに $${\displaystyle \frac{k}{k+5}}=1-{\displaystyle \frac{5}{k+5}}$$ だから $$\vec{p}=\vec{a}+{\displaystyle \frac{5}{k+5}}(\vec{m}-\vec{a})$$ と書ける。 $k>-5$ なので $\lambda ={\displaystyle \frac{5}{k+5}}>0$ である。したがって $P$ は $$\vec{p}=\vec{a}+\lambda (\vec{m}-\vec{a})(\lambda >0)$$ を満たす点全体である。これは、点 $A$ を端点とし、点 $M$ を通る半直線である。ただし $\lambda =0$ は取れないので、点 $A$ 自身は含まない。

よって答えは、$BC$ を $1:4$ に内分する点 $M$ に対し、$A\text{を除く半直線 }AM$ である。

(2) $D$ は $AC$ を $2:1$ に内分するから $$\vec{d}={\displaystyle \frac{\vec{a}+2\vec{c}}{3}}$$ である。直線 $DB$ 上の点は、$\vec{d}$ と $\vec{b}$ の1次結合で表される。したがって $A,B,C$ に関する係数で見ると、直線 $DB$ 上では $A$ の係数と $C$ の係数の比が $1:2$ になる。

一方、$P$ は $$\vec{p}={\displaystyle \frac{k}{k+5}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{4}{k+5}}\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{k+5}}\vec{c}$$ である。よって $P$ が直線 $DB$ 上にあるには $k:1=1:2$ でなければならない。したがって $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

このとき $$\vec{p}={\displaystyle \frac{1}{11}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{8}{11}}\vec{b}+{\displaystyle \frac{2}{11}}\vec{c}$$ である。また$${\displaystyle \frac{1}{11}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{2}{11}}\vec{c}={\displaystyle \frac{3}{11}}\cdot {\displaystyle \frac{\vec{a}+2\vec{c}}{3}}={\displaystyle \frac{3}{11}}\vec{d}$$だから $$\vec{p}={\displaystyle \frac{3}{11}}\vec{d}+{\displaystyle \frac{8}{11}}\vec{b}$$ である。線分 $DB$ 上でこの形に書かれているので $DP:PB=8:3$ である。よって $DP:PB=8:3$ である。

(3) $BA=BC$ であるから、三角形 $ABC$ は頂点 $B$ を頂点とする二等辺三角形である。このとき $\mathrm{\angle }ABC$ の二等分線は、辺 $AC$ の中点を通る。

したがって、$P$ がこの二等分線上にあるには、$P$ を $A,B,C$ の係数で表したとき、$A$ と $C$ の係数が等しければよい。すなわち $${\displaystyle \frac{k}{k+5}}={\displaystyle \frac{1}{k+5}}$$ である。$k>-5$ なので分母は0ではなく、$k=1$ を得る。よって $k=1$ である。

原点を $B$ に取り、独立な2本のベクトル $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ を座標軸のように使う。点 $P$ の2係数を直接読み、(1)の半直線、(2)の線分 $DB$ 上の比、(3)の二等辺三角形の角の二等分線条件を係数比較だけで処理する。

原点を $B$ とし$$\vec{u}=\overrightarrow{BA},\vec{v}=\overrightarrow{BC}$$を基底のように用いる。3点は同一直線上にないので $\vec{u},\vec{v}$ は独立である。

条件式を整理すると$$\overrightarrow{BP}={\displaystyle \frac{k}{k+5}}\vec{u}+{\displaystyle \frac{1}{k+5}}\vec{v}\mathrm{.}$$(1)
$M$ を $BC$ を $1:4$ に内分する点とすれば$$\overrightarrow{BM}={\displaystyle \frac{1}{5}}\vec{v}\mathrm{.}$$従って$$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{5}{k+5}}\overrightarrow{AM}\mathrm{.}$$$k>-5$ のとき係数は正の全ての値を取り得るので、軌跡は $A$ を除く半直線 $AM$ である。

(2)
$D$ は $AD:DC=2:1$ を満たすから$$\overrightarrow{BD}={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{u}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{v}\mathrm{.}$$$P$ が直線 $DB$ 上にあるには、$\vec{u},\vec{v}$ の係数比が $1:2$ であればよい。従って$$k:1=1:2,k={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$このとき$$\overrightarrow{BP}={\displaystyle \frac{3}{11}}\overrightarrow{BD},$$だから$$DP:PB=8:3.$$(3)
$BA=BC$ のとき角の二等分線は $AC$ の中点を通る。基底係数が等しいことが必要十分なので$${\displaystyle \frac{k}{k+5}}={\displaystyle \frac{1}{k+5}},$$従って$$k=1.$$