名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
円板 $x^2+y^2\leqq t^2$ 上で、一次式 $2x+y$ の最大値を求める。恒等式 $$5(x^2+y^2)-(2x+y{)}^2=(x-2y{)}^2\geqq 0$$ より $(2x+y{)}^2\leqq 5(x^2+y^2)\leqq 5t^2$ である。したがって $2x+y\leqq \sqrt{5}t$ である。したがって $2x+y\geqq 5$ を満たす点が存在するためには $\sqrt{5}t\geqq 5$ が必要である。逆にこの条件が成り立てば、点 $({\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}})$ では $2x+y=\sqrt{5}t\geqq 5$ となるので、条件を満たす点が存在する。よって $t\geqq \sqrt{5}$ である。

(2)
以下 $t\geqq \sqrt{5}$ とする。境界直線 $2x+y=5$ 上の点を $(x,y)=(2+s,1-2s)$ と表す。このとき $$x^2+y^2=(2+s{)}^2+(1-2s{)}^2=5+5s^2$$ である。円周との交点は $5+5s^2=t^2$ より $$s=\pm r,r=\sqrt{{\displaystyle \frac{t^2-5}{5}}}$$ である。

この直線上では $x+2y=(2+s)+2(1-2s)=4-3s$ である。共通領域における $x+2y$ の最小は、半平面の境界上で $s$ が最大となる点で起こる。したがって最小にする点は $$P_{\min }=(2+r,1-2r)$$ である。

最大について、まず円板だけで $x+2y$ を最大にする点は $({\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}})$ で、その値は $\sqrt{5}t$ である。この点が半平面 $2x+y\geqq 5$ に入る条件は $2\cdot {\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}}\geqq 5$ すなわち $$t\geqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}$$ である。

したがって、$t\geqq 5\sqrt{5}\mathrm{/}4$ のとき、最大にする点は $$P_{\max }=({\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}})$$ である。一方、$$\sqrt{5}\leqq t\leqq 5\sqrt{5}\mathrm{/}4$$ のときは、この円の支持点が半平面の外にあるので、最大は境界直線と円周の交点のうち $x+2y=4-3s$ が大きい方、すなわち $s=-r$ で起こる。よって $$P_{\max }=(2-r,1+2r)$$ である。

以上をまとめると、$$P_{\min }=(2+r,1-2r)$$ であり、$$P_{\max }=\{\begin{array}{ll}(2-r,1+2r)& (\sqrt{5}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}),\\ ({\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}})& (t\geqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}})\end{array}$$である。ただし $$r=\sqrt{(t^2-5)\mathrm{/}5}$$ である。

(3)
(2)より最大値を $M(t)$ とする。$$\sqrt{5}\leqq t\leqq 5\sqrt{5}\mathrm{/}4$$ では $M(t)=(2-r)+2(1+2r)=4+3r$ である。したがって $$M(t)=4+3\sqrt{{\displaystyle \frac{t^2-5}{5}}}$$ である。 $t\geqq 5\sqrt{5}\mathrm{/}4$ では、円板の支持点が使えるので $M(t)=\sqrt{5}t$ である。ゆえに$$M(t)=\{\begin{array}{ll}4+3\sqrt{{\displaystyle \frac{t^2-5}{5}}}& (\sqrt{5}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}),\\ \sqrt{5}t& (t\geqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}})\end{array}$$である。

グラフは $t=\sqrt{5}$ で $M=4$ から始まり、前半は平方根型に増加する。接続点 $t=5\sqrt{5}\mathrm{/}4$ では $$4+3\sqrt{{\displaystyle \frac{(5\sqrt{5}\mathrm{/}4{)}^2-5}{5}}}=4+{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{25}{4}}$$ であり、後半の直線 $M=\sqrt{5}t$ も同じ値 $25\mathrm{/}4$ をとる。したがってそこから先は傾き $\sqrt{5}$ の直線となる。

直交座標を回転し、$u=(2x+y)\mathrm{/}\sqrt{5},v=(-x+2y)\mathrm{/}\sqrt{5}$ とおく。領域は円板 $u^2+v^2\leqq t^2$ を直線 $u=\sqrt{5}$ で切った円弓形となり、目的式は $(4u+3v)\mathrm{/}\sqrt{5}$ になる。支持点が円弓形内に入るかで最大値を場合分けする。

$$u={\displaystyle \frac{2x+y}{\sqrt{5}}},v={\displaystyle \frac{-x+2y}{\sqrt{5}}}$$とおく。これは座標の回転であり、$$x={\displaystyle \frac{2u-v}{\sqrt{5}}},y={\displaystyle \frac{u+2v}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$従って条件と目的式は$$u\geqq \sqrt{5},u^2+v^2\leqq t^2,x+2y={\displaystyle \frac{4u+3v}{\sqrt{5}}}$$となる。

(1)
円板が直線 $u=\sqrt{5}$ に届く条件は$$t\geqq \sqrt{5}\mathrm{.}$$(2)
$u=\sqrt{5}$ と円周との交点では$$v=\pm \sqrt{t^2-5}\mathrm{.}$$最小値は下側の交点でとる。$$r=\sqrt{(t^2-5)\mathrm{/}5}$$ とおけば、元の座標は$$P_{\min }=(2+r,1-2r)\mathrm{.}$$円板全体で $4u+3v$ を最大にする点は、ベクトル $(4,3)$ の方向にある$$(u,v)=({\displaystyle \frac{4t}{5}},{\displaystyle \frac{3t}{5}})$$である。この点が $u\geqq \sqrt{5}$ を満たす条件は$$t\geqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}\mathrm{.}$$従って$$P_{\max }=\{\begin{array}{ll}(2-r,1+2r)& (\sqrt{5}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}),\\ ({\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}})& (t\geqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}})\mathrm{.}\end{array}$$(3)
上の点で目的式を計算すると$$M(t)=\{\begin{array}{ll}4+3\sqrt{{\displaystyle \frac{t^2-5}{5}}}& (\sqrt{5}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}),\\ \sqrt{5}t& (t\geqq {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}})\mathrm{.}\end{array}$$接続点では両式とも $25\mathrm{/}4$ となる。従ってグラフは $(\sqrt{5},4)$ から平方根型に増加し、接続点から傾き $\sqrt{5}$ の直線になる。