名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
1位、2位、3位がすべて単独で決まるのは、A、B、Cの3人の出目がすべて異なるときである。出目の組は全部で $6^3=216$ 通りあり、すべて異なる出方は $6\cdot 5\cdot 4=120$ 通りである。したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{120}{216}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$$ である。

(2)
Aが1位になるとは、Aより大きい目を出した人がいないという意味であり、同点1位も含む。Aの出目が $i$ であるとき、BとCの出目はどちらも $i$ 以下であればよい。そのような組は $i^2$ 通りである。

よって求める確率は $${\displaystyle \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6^3}}={\displaystyle \frac{91}{216}}$$ である。

(3)
「AとBの少なくとも一方が1位になる」の余事象は、AもBも1位でない場合である。これはCだけが単独で1位になる場合に限られる。

Cの出目が $j$ であるとき、AとBはどちらも $j$ より小さい目を出す必要があるので、$(j-1{)}^2$ 通りである。したがってCだけが単独1位になる出方は $$0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$$ 通りである。よって求める確率は $$1-{\displaystyle \frac{55}{216}}={\displaystyle \frac{161}{216}}$$ である。

(4)
まず、どの出方でも3人に与えられる得点の合計が $6$ 点であることを確認する。3人の目がすべて異なれば、得点は $4+2+0=6$ である。2人が1位で並ぶ場合は $3+3+0=6$ である。1人が単独1位で、残り2人が2位で並ぶ場合は $4+1+1=6$ である。3人が全員1位で並ぶ場合は $2+2+2=6$ である。

A、B、Cは完全に対称であるから、3人の得点の期待値は等しい。3人の得点合計の期待値は常に $6$ なので、Aの得点の期待値を $E$ とすると $3E=6$ である。したがって $E=2$ である。

(1) は異なる3個の目の選び方と並べ方、(2)はAの目を固定した数え上げ、(3)は包除原理で求める。(4)も対称性に頼らず、Aの目を固定し、単独1位・同率1位・単独2位・同率2位の出方を重み付きで合計して検算する。

全事象は $6^3=216$ 通りである。

(1)
異なる3個の目を選ぶ方法は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りで、それをA、B、Cへ割り当てる方法は $3!=6$ 通りである。従って$${\displaystyle \frac{20\cdot 6}{216}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\mathrm{.}$$(2)
Aの目を $j$ と固定すると、Aが同率を含めて1位になるB、Cの出方は $j^2$ 通りである。従って$${\displaystyle \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{216}}={\displaystyle \frac{91}{216}}\mathrm{.}$$(3)
Aが1位になる出方、Bが1位になる出方はそれぞれ91通りである。AとBがともに1位になるには、共通の目を $j$ としてCが $j$ 以下ならよいので$$1+2+\cdots +6=21$$通りである。包除原理より$${\displaystyle \frac{91+91-21}{216}}={\displaystyle \frac{161}{216}}\mathrm{.}$$(4)
Aの目を $j$ と固定する。Aが単独1位、2人同率1位、3人同率1位、単独2位、2人同率2位となる出方は、それぞれ$$(j-1{)}^2,2(j-1),1,2(6-j)(j-1),2(6-j)$$通りである。従ってAの得点の総和は$$\sum _{j=1}^6[4(j-1{)}^2+6(j-1)+2+4(6-j)(j-1)+2(6-j)]=432.$$よって期待値は$${\displaystyle \frac{432}{216}}=2.$$