名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
関数は $x=0,1$ で定義されない。$x\mathrm{\ne }0,1$ で微分すると$$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{e^{-a\mathrm{/}x}\cdot {\displaystyle \frac{a}{x^2}}(x-1)-e^{-a\mathrm{/}x}}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{e^{-a\mathrm{/}x}\{a(x-1)-x^2\}}{x^2(x-1{)}^2}}$$である。したがって $$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{e^{-a\mathrm{/}x}(x^2-ax+a)}{x^2(x-1{)}^2}}$$ である。ここで $e^{-a\mathrm{/}x}>0$、$x^2(x-1{)}^2>0$ なので、$y^{\mathrm{\prime }}$ の符号は $-(x^2-ax+a)$ の符号で決まる。 $a<4$ のとき、二次式 $x^2-ax+a$ の判別式は $a^2-4a=a(a-4)<0$ である。先頭係数は正なので、すべての実数 $x$ に対して $x^2-ax+a>0$ である。したがって定義域の各区間で $y^{\mathrm{\prime }}<0$ となり、$y$ は極値をもたない。

(2) $a>4$ のとき、方程式 $x^2-ax+a=0$ は2つの正の解をもつ。それらを$$\alpha ={\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2-4a}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2-4a}}{2}}$$とおく。$a>4$ だから $a-2>0$ であり、$\alpha >1$ は $$a-\sqrt{a^2-4a}>2$$ すなわち $$a-2>\sqrt{a^2-4a}$$ と同値である。両辺は正で、二乗すると $(a-2{)}^2>a^2-4a$ すなわち $4>0$ となるので、確かに $\alpha >1$ である。また $$\alpha <{\displaystyle \frac{a}{2}}<\beta$$ は式から直ちにわかる。よって $$1<\alpha <{\displaystyle \frac{a}{2}}<\beta$$ である。

二次式 $x^2-ax+a$ は $x<\alpha$、$x>\beta$ で正、$\alpha <x<\beta$ で負である。したがって $y^{\mathrm{\prime }}$ は $x<\alpha$、$x>\beta$ で負、$\alpha <x<\beta$ で正である。特に $(1,\mathrm{\infty })$ では、$x=\alpha$ で減少から増加に変わるので極小値をとり、$x=\beta$ で増加から減少に変わるので極大値をとる。位置は $$1<\alpha <{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}}<\beta$$ であるから、題意の主張が示された。

(3) $x\to +0$ のとき、$-a\mathrm{/}x\to -\mathrm{\infty }$ なので $e^{-a\mathrm{/}x}\to 0$ であり、また $x-1\to -1$ である。したがって $y\to 0$ で、値は負の側から $0$ に近づく。

一方、$x\to -0$ のとき、$-a\mathrm{/}x\to +\mathrm{\infty }$ なので $e^{-a\mathrm{/}x}\to \mathrm{\infty }$ であり、$x-1\to -1$ である。したがって $y\to -\mathrm{\infty }$ である。

(4)
概形に必要な端の様子をまとめる。$x\to 1-0$ では分子が正の定数 $e^{-a}$ に近づき、分母が負の側から $0$ に近づくので $y\to -\mathrm{\infty }$ である。$x\to 1+0$ では $y\to +\mathrm{\infty }$ である。また $$x\to -\mathrm{\infty }\text{で}y\to 0\text{ かつ負},$$ また $$x\to +\mathrm{\infty }\text{で}y\to 0\text{ かつ正}$$ である。 $a<4$ では、(1)より各区間 $(-\mathrm{\infty },0)$、$(0,1)$、$(1,\mathrm{\infty })$ で単調減少する。したがって、左側の枝は $0$ の負の側から始まり $x\to -0$ で $-\mathrm{\infty }$ へ下がり、中央の枝は $x\to +0$ で $0$ の負の側から $x\to 1-0$ で $-\mathrm{\infty }$ へ下がり、右側の枝は $x\to 1+0$ で $+\mathrm{\infty }$ から $0$ の正の側へ下がる。 $a=4$ では $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ なので、$x=2$ で $y^{\mathrm{\prime }}=0$ となるが、符号は変わらない。したがって極値はなく、$x=2$ で水平な接線をもつ以外は $a<4$ と同じ単調減少の概形である。 $a>4$ では、負の側と $0<x<1$ の枝は単調減少である。$(1,\mathrm{\infty })$ の枝は $x=\alpha$ で極小値をとり、$x=\beta$ で極大値をとった後、$0$ の正の側へ近づく。ここで $$\alpha ={\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2-4a}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2-4a}}{2}}$$ である。

導関数に現れる二次式を平方完成し、$a<4,a=4,a>4$ で符号がどう変わるかを一目で整理する。定義域を3区間に分けて $x=0,1,\pm \mathrm{\infty }$ での極限を加え、$a>4$ では2つの停留点の位置を根の和と対称性から確定して概形を描く。

$x\mathrm{\ne }0,1$ で$$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{e^{-a\mathrm{/}x}}{x^2(x-1{)}^2}}q(x),q(x)=x^2-ax+a\mathrm{.}$$ここで$$q(x)={(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+a(1-{\displaystyle \frac{a}{4}})$$と平方完成する。

(1)
$0<a<4$ では第2項が正なので $q(x)>0$ であり、定義域の各区間で $y^{\mathrm{\prime }}<0$ である。従って極値をもたない。

(2)
$a>4$ では$$q(x)=0$$の2根を $\alpha <\beta$ とすると、対称軸から$$\alpha <{\displaystyle \frac{a}{2}}<\beta \mathrm{.}$$また根の積 $\alpha \beta =a>0$、根の和 $\alpha +\beta =a>0$ より2根は正である。ここで $q(1)=1>0$ だから1は2根の間にはない。もし $\beta <1$ なら $\alpha \beta <1$ となって $\alpha \beta =a>4$ に反するので、$1<\alpha$ である。従って$$1<\alpha <{\displaystyle \frac{a}{2}}<\beta \mathrm{.}$$$q$ は根の外側で正、内側で負なので、$y^{\mathrm{\prime }}$ は $\alpha$ で負から正、$\beta$ で正から負へ変わる。よって指定された区間でそれぞれ極小、極大をとる。

(3) $$\underset{x\to +0}{\lim }y=0-,\underset{x\to -0}{\lim }y=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$前者は $e^{-a\mathrm{/}x}\to 0$、後者は $e^{-a\mathrm{/}x}\to \mathrm{\infty }$ で、どちらも $x-1\to -1$ となることから従う。

(4)
さらに$$\underset{x\to 1-0}{\lim }y=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 1+0}{\lim }y=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }y=0-,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }y=0+$$である。$a<4$ では3区間すべてで単調減少する。$a=4$ では $x=2$ で水平になるが符号は変わらず、極値はない。$a>4$ では右側の枝だけが $\alpha$ で極小、$\beta$ で極大をもつ。