名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

与えられた条件は$$\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$である。これを$$\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}=-\alpha \overrightarrow{OA}$$と変形する。

点 $A^{\mathrm{\prime }}$ は辺 $BC$ 上にあるので、$B,C$ を結ぶ直線上の点として$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}}{\beta +\gamma }}$$と表される。ここで $\beta ,\gamma >0$ なので、この点は実際に辺 $BC$ 上の内分点である。

上の関係式を代入すると $$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +\gamma }}\overrightarrow{OA}$$ である。したがって$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +\gamma }}\overrightarrow{OA}$$を得る。

(2)

(1) と同様に、巡回的に$$\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\beta }{\gamma +\alpha }}\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{C}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha +\beta }}\overrightarrow{OC}$$である。 $O$ は $\mathrm{△}ABC$ の外心なので $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }$$ である。この共通の長さを $R$ とする。すると $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +\gamma }}R,$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\beta }{\gamma +\alpha }}R,\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{C}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha +\beta }}R$$である。

いま $\mathrm{△}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ の外心が $O$ に一致すると仮定する。このとき $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{C}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }$$ であるから$${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +\gamma }}={\displaystyle \frac{\beta }{\gamma +\alpha }}={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha +\beta }}$$となる。

まず最初の2つを比べると $$\alpha (\gamma +\alpha )=\beta (\beta +\gamma )$$ である。整理すると $${\alpha }^2-{\beta }^2+\gamma (\alpha -\beta )=0$$ すなわち $$(\alpha -\beta )(\alpha +\beta +\gamma )=0$$ である。$\alpha ,\beta ,\gamma$ は正数なので $\alpha +\beta +\gamma >0$ であり、したがって $\alpha =\beta$ である。

同様に、2番目と3番目を比べれば $\beta =\gamma$ を得る。よって $\alpha =\beta =\gamma$ である。

辺上の内分表示から $O{A}^{\mathrm{\prime }},O{B}^{\mathrm{\prime }},O{C}^{\mathrm{\prime }}$ を求める。
外心条件で3つの正の比を共通値 $\lambda$ と置き、
$\alpha +\beta +\gamma$ を使って3係数を同時に決定する。

(1)

点 $A^{\mathrm{\prime }}$ は辺 $BC$ 上にあり、$${\displaystyle \frac{\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}}{\beta +\gamma }}$$は $B,C$ の内分点を表す。一方、与式から$$\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}=-\alpha \overrightarrow{OA}\mathrm{.}$$よってこの内分点は直線 $OA$ 上にもあり、交点の一意性から$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +\gamma }}\overrightarrow{OA}\mathrm{.}$$(2)

巡回的に$$\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\beta }{\gamma +\alpha }}\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{C}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha +\beta }}\overrightarrow{OC}\mathrm{.}$$$O$ が両三角形の外心であり、係数は正だから$${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +\gamma }}={\displaystyle \frac{\beta }{\gamma +\alpha }}={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha +\beta }}=\lambda$$と置ける。$S=\alpha +\beta +\gamma$ とすると$$\alpha =\lambda (S-\alpha ),$$したがって$$\alpha ={\displaystyle \frac{\lambda S}{1+\lambda }}\mathrm{.}$$同じ計算が $\beta ,\gamma$ にも成り立つので$$\alpha =\beta =\gamma \mathrm{.}$$