名古屋大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
積和公式より $$2\sin mx\sin nx=\cos (m-n)x-\cos (m+n)x$$ である。

まず $m\mathrm{\ne }n$ のとき、$m-n$ も $m+n$ も0でない整数である。したがって$${\int }_0^{\pi }\cos (m-n)xdx={\left[{\displaystyle \frac{\sin (m-n)x}{m-n}}\right]}_0^{\pi }=0$$であり、同様に$${\int }_0^{\pi }\cos (m+n)xdx=0$$である。よって$${\int }_0^{\pi }\sin mx\sin nxdx=0$$である。

次に $m=n$ のときは$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}mxdx={\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{1-\cos 2mx}{2}}dx$$である。$\cos 2mx$ の積分は0なので$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}mxdx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。以上より$${\int }_0^{\pi }\sin mx\sin nxdx=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& (m=n),\\ 0& (m\mathrm{\ne }n)\end{array}$$である。

(2)
部分積分を用いる。$u=x$, $dv=\sin mxdx$ とすると、$du=dx$, $v=-\cos mx\mathrm{/}m$ だから$${\int }_0^{\pi }x\sin mxdx={[-{\displaystyle \frac{x\cos mx}{m}}]}_0^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{m}}{\int }_0^{\pi }\cos mxdx$$である。第2項は $${\displaystyle \frac{1}{m}}{\left[{\displaystyle \frac{\sin mx}{m}}\right]}_0^{\pi }=0$$ である。したがって$${\int }_0^{\pi }x\sin mxdx=-{\displaystyle \frac{\pi \cos m\pi }{m}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{m+1}\pi }{m}}$$である。よって$${\int }_0^{\pi }x\sin mxdx={(-1)}^{m+1}{\displaystyle \frac{\pi }{m}}$$である。

(3)
回転体の体積を $V$ とする。半径は $\mid x-a_1\sin x-a_2\sin 2x-\cdots -a_N\sin Nx\mid$ であるが、体積では半径の2乗を使うので絶対値は消える。したがって$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{(x-\sum _{m=1}^N{a}_m\sin mx)}^{2}dx$$である。 $V\mathrm{/}\pi$ を展開すると$${\int }_0^{\pi }{x}^{2}dx-2\sum _{m=1}^N{a}_m{\int }_0^{\pi }x\sin mxdx+\sum _{m=1}^N\sum _{n=1}^N{a}_m{a}_n{\int }_0^{\pi }\sin mx\sin nxdx$$である。(1)より $m\mathrm{\ne }n$ の交差項は消え、$m=n$ の項だけが残るので$${\displaystyle \frac{V}{\pi }}={\int }_0^{\pi }{x}^{2}dx-2\sum _{m=1}^N{a}_m{\int }_0^{\pi }x\sin mxdx+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sum _{m=1}^N{a}_m^2$$である。

(2) を代入すると、$a_m$ に関係する部分は ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}_m^2-2a_m\cdot {\displaystyle \frac{(-1{)}^{m+1}\pi }{m}}$ である。これは ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{(a_m-{\displaystyle \frac{2(-1{)}^{m+1}}{m}})}^2$ に定数を加えた形である。したがって体積が最小になるのは、各 $m=1,2,\dots ,N$ について $$a_m={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{m+1}}{m}}$$ のときである。

よって求める係数は $$a_m={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{m+1}}{m}}(m=1,2,\dots ,N)$$ である。

$x$ と $\sin x,\dots ,\sin Nx$ の直交分解として体積を捉える。最適係数を先に内積比で求め、任意の係数との差の2乗積分が非負であるというピタゴラス型恒等式を示して、同時に最小性と一意性を証明する。

(1)
積和公式$$\sin mx\sin nx={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x\}$$を用いる。$m\mathrm{\ne }n$ なら両余弦の積分は0である。$m=n$ なら$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}mxdx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }(1-\cos 2mx)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$(2)
部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }x\sin mxdx}& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x\cos mx}{m}}]}_0^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{m}}{\int }_0^{\pi }\cos mxdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(-1{)}^{m+1}\pi }{m}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
(1)(2)から、関数$$\sin x,\sin 2x,\dots ,\sin Nx$$は区間 $[0,\pi ]$ で互いに直交し、それぞれの長さの2乗は $\pi \mathrm{/}2$ である。また$${\int }_0^{\pi }x\sin mxdx={\displaystyle \frac{(-1{)}^{m+1}\pi }{m}}\mathrm{.}$$最適候補を$$a_m^{\ast }={\displaystyle \frac{{\int }_0^{\pi }x\sin mxdx}{{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}mxdx}}={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{m+1}}{m}}$$と置く。任意の係数 $a_m$ に対し$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{\pi }{(x-\sum _{m=1}^N{a}_m\sin mx)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{(x-\sum _{m=1}^N{a}_m^{\ast }\sin mx)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^{\pi }{(\sum _{m=1}^N(a_m-a_m^{\ast })\sin mx)}^{2}dx\mathrm{.}}\end{array}$$交差項が0になるのは、$a_m^{\ast }$ の定義により残差が各 $\sin mx$ と直交するからである。

最後の積分は$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sum _{m=1}^N(a_m-a_m^{\ast }{)}^2\geqq 0$$であり、0になるのは全ての $a_m=a_m^{\ast }$ のときだけである。回転体の体積はこの積分の $\pi$ 倍なので、最小にする係数は一意に$$a_m={\displaystyle \frac{2(-1{)}^{m+1}}{m}}(m=1,2,\dots ,N)$$である。