名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
曲線 $C$ は $y=(x+1)(2-x)=-x^2+x+2$ である。接点の $x$ 座標を $\xi$ とする。ただし問題の条件より $0\leqq \xi \leqq 2$ である。曲線の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-2x+1$ だから、接線の傾きは $a=1-2\xi$ である。また接点は $(\xi ,-{\xi }^2+\xi +2)$ なので、接線 $y=ax+b$ に代入して $$-{\xi }^2+\xi +2=(1-2\xi )\xi +b$$ より $b={\xi }^2+2$ を得る。

したがって $$a=1-2\xi ,b={\xi }^2+2(0\leqq \xi \leqq 2)$$ である。$\xi =(1-a)\mathrm{/}2$ を代入すれば $$b={\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{4}}+2$$ であり、$0\leqq \xi \leqq 2$ から $-3\leqq a\leqq 1$ である。よって $ab$ 平面上の存在範囲は $$b={\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{4}}+2,-3\leqq a\leqq 1$$ で表される放物線の弧である。

(2)
接線と曲線の差を計算する。上の $a,b$ を用いると $$l(x)-C(x)=\{(1-2\xi )x+{\xi }^2+2\}-(-x^2+x+2)$$ である。整理して $$l(x)-C(x)=x^2-2\xi x+{\xi }^2=(x-\xi {)}^2$$ となる。これは常に $0$ 以上であるから、囲まれた図形の面積は $$S(\xi )={\int }_0^2(x-\xi {)}^{2}dx$$ である。

積分すると$$S(\xi )={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\xi x^2+{\xi }^{2}x]}_0^2={\displaystyle \frac{8}{3}}-4\xi +2{\xi }^2$$である。平方完成すると $$S(\xi )=2(\xi -1{)}^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。$0\leqq \xi \leqq 2$ なので、最小値は $\xi =1$ で取られ、その値は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。このとき $$a=1-2\xi =-1,b={\xi }^2+2=3$$ である。

直線と放物線の共有点方程式が重解をもつ条件から
$(a,b)$ の軌跡を直接求める。面積は
$(x-\xi {)}^2=(x-1{)}^2+2(x-1)(1-\xi )+(1-\xi {)}^2$
と展開し、交差項の積分が0になることを使う。

(1)
共有点の $x$ 座標は$$-x^2+x+2=ax+b$$すなわち$$x^2+(a-1)x+(b-2)=0$$を満たす。接するための必要十分条件は判別式が0であることだから$$(a-1{)}^2-4(b-2)=0.$$よって$$b={\displaystyle \frac{(1-a{)}^2}{4}}+2.$$重解は$$\xi ={\displaystyle \frac{1-a}{2}}$$である。$0\leqq \xi \leqq 2$ より$$-3\leqq a\leqq 1.$$したがって求める範囲は、上の放物線の
$-3\leqq a\leqq 1$ に対応する弧である。

(2)
接線と曲線の差は $(x-\xi {)}^2$ なので$$S(\xi )={\int }_0^2(x-\xi {)}^{2}dx\mathrm{.}$$ここで$$x-\xi =(x-1)+(1-\xi )$$と分けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(\xi )}& {\displaystyle ={\int }_0^2(x-1{)}^{2}dx+2(1-\xi ){\int }_0^2(x-1)dx+2(1-\xi {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2(1-\xi {)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $\xi =1$ で最小となり、$$a=-1,b=3,S_{\min }={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$