名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第3問(a)

放物線 $C:y=x^2$ 上の点を $$A=(u,u^2),B=(v,v^2)$$ とおく。このとき $t=uv+u^2{v}^2=uv+(uv{)}^2$ である。

(1) $w=uv$ とおくと $$t=w+w^2={(w+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。$u,v$ は任意の実数を取り得るので、$w=uv$ も任意の実数を取り得る。したがって $t\ge -{\displaystyle \frac{1}{4}}$ であり、等号は $uv=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときに成立する。よって $t$ の取り得る値の範囲は $t\geqq -{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

(2) 点 $P$ の座標を $(X,Y)$ とおくと、$$X=u+v,Y=u^2+v^2=(u+v{)}^2-2uv=X^2-2w$$ である。

条件 $t=2$ は $w+w^2=2$ すなわち $(w-1)(w+2)=0$ だから、$$w=1\text{または}w=-2$$ である。

まず $uv=1$ のとき、$Y=X^2-2$ である。ただし、$u,v$ は二次方程式 $r^2-Xr+1=0$ の2つの実根でなければならない。よって判別式より $X^2-4\ge 0$ すなわち $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }\ge 2$ である。

次に $uv=-2$ のとき、$Y=X^2+4$ である。この場合、$u,v$ は $r^2-Xr-2=0$ の2つの実根であり、判別式は $X^2+8>0$ なので、すべての実数 $X$ に対して実数 $u,v$ が存在する。

したがって $P$ の軌跡は $$Y=X^2-2(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }\ge 2),Y=X^2+4(X\in \mathbb{R})$$ である。

和 $X=u+v$ と積 $w=uv$ を基本対称式として扱う。内積条件は積だけを決め、点 $P$ の縦座標は $X^2-2w$ になる。実数 $u,v$ の存在条件を判別式で課せば、軌跡の欠ける部分も同時に決まる。

(1)
$A=(u,u^2)$, $B=(v,v^2)$ とおき、$w=uv$ とする。このとき$$t=uv+u^2{v}^2=w^2+w={(w+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$$w$ は任意の実数を取り得るから$$t\geqq -{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(2)
$P=(X,Y)$ とすると$$X=u+v,Y=u^2+v^2=X^2-2w\mathrm{.}$$$t=2$ より $w^2+w-2=0$ なので $w=1,-2$ である。$$\begin{array}{ccc}w& Y& u,v\text{ が実数である条件}\\ 1& X^2-2& X^2-4\geqq 0\\ -2& X^2+4& X^2+8\geqq 0\end{array}$$したがって軌跡は$$Y=X^2-2(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }\geqq 2),Y=X^2+4(X\in \mathbb{R})$$である。