名古屋大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $n=3,m=1$ では参加者は8人、強い選手は2人である。強い選手同士は $n-m=2$ 回戦が終わるまでは対戦しないので、特定の強い選手は1回戦、2回戦では弱い選手と対戦する。したがって決勝まで進む確率は $x^2$ である。

反対側の山にいるもう1人の強い選手も、決勝までに2回弱い選手に勝つ必要があるので、決勝に来る確率は $x^2$ である。決勝の相手が強い選手なら勝つ確率は $1\mathrm{/}2$、弱い選手なら勝つ確率は $x$ である。よって特定の強い選手が優勝する確率は $$x^2\{{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x(1-x^2)\}=x^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-x^5$$ である。

(2)

(a) $n=3,m=2$ では参加者は8人、強い選手は4人であり、強い選手同士は1回戦では当たらない。特定の強い選手が2回戦まで勝ち進んだ後、決勝の相手が強い選手である確率を求める。

反対側の山には強い選手が2人いる。それぞれ1回戦で弱い選手に勝つ確率は $x$ である。2人とも1回戦に勝てば、2回戦で強い選手同士が当たり、どちらか一方の強い選手が決勝へ来る。1人だけが1回戦に勝った場合は、その強い選手が2回戦で弱い選手に勝てば決勝へ来る。したがって決勝の相手が強い選手である確率は $x^2+2x(1-x)x=3x^2-2x^3$ である。

よって $$p_3=p_2\{{\displaystyle \frac{1}{2}}(3x^2-2x^3)+x(1-3x^2+2x^3)\}$$ である。

(b)
まず $i=n-m$ の場合を考える。強い選手同士は $n-m$ 回戦が終わるまでは対戦しないので、特定の強い選手が $n-m$ 回戦に勝つには、$n-m-1$ 回戦まで勝った後、弱い選手に勝てばよい。したがって $p_{n-m}=x{p}_{n-m-1}$ である。

次に $i=n$、すなわち決勝を考える。特定の強い選手が決勝に進んでいるとする。反対側の山には $2^{m-1}$ 人の強い選手がいる。反対側の山のある特定の強い選手が決勝に来る確率は $p_{n-1}$ である。決勝に来られる選手は1人だけなので、これらの事象は互いに重ならない。したがって決勝の相手が強い選手である確率は $2^{m-1}{p}_{n-1}$ である。

相手が強い選手なら勝つ確率は $1\mathrm{/}2$、相手が弱い選手なら勝つ確率は $x$ である。よって $$p_n=p_{n-1}\{{\displaystyle \frac{1}{2}}{2}^{m-1}{p}_{n-1}+x(1-2^{m-1}{p}_{n-1})\}$$ である。

特定選手の生存と反対側の山の勝者の種類を独立に扱う。
反対側から強い選手が来る確率は、候補ごとの決勝進出事象が排反であることから、
強い選手数と $p_{n-1}$ の積で求める。

(1)
特定の強い選手が決勝へ進む確率は $x^2$。
反対側の唯一の強い選手が決勝へ来る確率も $x^2$ である。
よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Pr}(\text{優勝})}& {\displaystyle =x^2\{{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x(1-x^2)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-x^5\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
(a)
反対側の山の強い選手は2人である。
2人とも初戦に勝つ確率は $x^2$。
ちょうど1人だけ勝ち、その1人が次戦も勝つ確率は$$2x(1-x)x\mathrm{.}$$したがって決勝相手が強い確率は$$q=x^2+2x^2(1-x)=3x^2-2x^3\mathrm{.}$$よって$$p_3=p_2\{{\displaystyle \frac{q}{2}}+x(1-q)\}=p_2\{{\displaystyle \frac{1}{2}}(3x^2-2x^3)+x(1-3x^2+2x^3)\}\mathrm{.}$$(b)
$(n-m)$ 回戦までは相手が必ず弱いので$$p_{n-m}=x{p}_{n-m-1}\mathrm{.}$$決勝の反対側には $2^{m-1}$ 人の強い選手がいる。
各人が決勝へ来る確率は $p_{n-1}$ で、これらの事象は排反だから$$\mathrm{Pr}(\text{決勝相手が強い})=2^{m-1}{p}_{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$p_n=p_{n-1}\{{\displaystyle \frac{1}{2}}{2}^{m-1}{p}_{n-1}+x(1-2^{m-1}{p}_{n-1})\}\mathrm{.}$$