名古屋大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
カードを戻さない場合、A君のグーが5回のうち何回目に出るか、B君のパーが5回のうち何回目に出るかを考えればよい。その他のカードはすべてチョキである。

A君のグーとB君のパーが同じ回に出れば、その回はグー対パーなのでB君が勝つ。逆に、出る回が異なる場合、先に特殊なカードが出た回では、A君のグー対B君のチョキ、またはA君のチョキ対B君のパーとなり、いずれもA君が勝つ。したがってB君が勝つのは、A君のグーの位置とB君のパーの位置が一致する場合だけである。

B君のパーの位置は5通りで、そのうちA君のグーの位置と一致するのは1通りだから、求める確率は ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ である。

(2)
カードを戻す場合、各回の試行は独立である。1回のじゃんけんでB君が勝つのは、A君がグー、B君がパーを出す場合だけなので、その確率は $${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1}{25}}$$ である。また、あいこになるのは両者がチョキを出す場合だけなので、その確率は $${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$$ である。 $n$ 回目にB君が勝つには、最初の $n-1$ 回は勝敗がつかず、すべてあいこであり、$n$ 回目にB君が勝てばよい。したがって $$p_n={\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{25}}$$ である。

(3) $n$ 回目までにB君が勝つ確率は、(2)を $1$ 回目から $n$ 回目まで足せばよい。よって$$P_n=\sum _{j=1}^n{\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^{j-1}{\displaystyle \frac{1}{25}}$$である。これは等比級数だから$$P_n={\displaystyle \frac{1}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^n}{1-{\displaystyle \frac{16}{25}}}}={\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^n}{9}}$$である。したがって $$P_n={\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^n}{9}}$$ である。

また、$0<16\mathrm{/}25<1$ より ${\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^n\to 0$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n={\displaystyle \frac{1}{9}}$$である。

(4)
カードを戻すので各回は独立である。1回でA君が勝つのは、A君がグーでB君がチョキを出す場合、またはA君がチョキでB君がパーを出す場合である。したがってA君が1回で勝つ確率は $${\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{8}{25}}$$ である。A君が勝たない確率は $$1-{\displaystyle \frac{8}{25}}={\displaystyle \frac{17}{25}}$$ である。 $n$ 回目にA君が2勝目をあげるには、$n$ 回目はA君が勝ち、最初の $n-1$ 回のうちA君が勝った回がちょうど1回でなければならない。最初の $n-1$ 回のうち、その1回を選ぶ方法は $n-1$ 通りである。したがって求める確率は$${}_{n-1}{\mathrm{C}}_1\left({\displaystyle \frac{8}{25}}\right){\left({\displaystyle \frac{17}{25}}\right)}^{n-2}\left({\displaystyle \frac{8}{25}}\right)$$である。すなわち ${\displaystyle \frac{64(n-1)}{625}}{\left({\displaystyle \frac{17}{25}}\right)}^{n-2}$ である。

1回ごとの結果を、A勝ち $8\mathrm{/}25$、B勝ち $1\mathrm{/}25$、あいこ $16\mathrm{/}25$ の3状態として扱う。(2)(3)は吸収までの幾何分布、(4)はA勝ちを成功とする二項分布から「最後の回が2回目の成功」として求める。

カードを戻す1回の試行では$$\mathrm{Pr}(A\text{勝ち})={\displaystyle \frac{8}{25}},\mathrm{Pr}(B\text{勝ち})={\displaystyle \frac{1}{25}},\mathrm{Pr}(\text{あいこ})={\displaystyle \frac{16}{25}}\mathrm{.}$$(1)
戻さない場合、Aのグーが現れる位置とBのパーが現れる位置は、それぞれ1から5まで一様で独立である。2つの位置が同じときだけグー対パーでBが先に勝つ。従って$$\mathrm{Pr}(B\text{勝ち})={\displaystyle \frac{5}{25}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}$$(2)
$n$ 回目にBが勝つには、それ以前が全てあいこで、最後がB勝ちでなければならない。従って$$p_n={\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{25}}\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{25}}\{1+{\displaystyle \frac{16}{25}}+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{16}{25}}\right)}^{n-1}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-(16\mathrm{/}25{)}^n}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n={\displaystyle \frac{1}{9}}\mathrm{.}$$(4)
各回でAが勝つか否かだけを見ると、成功確率 $8\mathrm{/}25$ の独立試行である。$n$ 回目が2回目の成功となるには、最初の $n-1$ 回に成功がちょうど1回あり、最後が成功すればよい。従って$${}_{n-1}{\mathrm{C}}_1\left({\displaystyle \frac{8}{25}}\right){\left({\displaystyle \frac{17}{25}}\right)}^{n-2}\left({\displaystyle \frac{8}{25}}\right)={\displaystyle \frac{64(n-1)}{625}}{\left({\displaystyle \frac{17}{25}}\right)}^{n-2}\mathrm{.}$$