名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(b)

(1)

駒は $-1$ または $3$ に着くとそこにとどまる。点1にいるためには、まだ吸収されておらず、$0,1,2$ の間を動いている必要がある。

まず、原点0から出発するので、偶数回後には点0または点2、あるいは吸収点にあり、点1にいることはない。したがって $$P(X_k=1)=0(k\text{ が偶数})$$ である。

奇数回後を考える。$k=2r+1$ とおく。1回後に点1にいる確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。点1にいる状態から2回硬貨を投げた後、再び点1にいるためには $1\to 0\to 1$ または $1\to 2\to 1$ となればよい。それぞれの確率は $1\mathrm{/}4$ なので、2回後に再び点1へ戻る確率は $${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

したがって、点1にいる奇数時刻ごとに確率は $1\mathrm{/}2$ 倍される。よって $$P(X_{2r+1}=1)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^r={\displaystyle \frac{1}{2^{r+1}}}$$ である。

以上より$$P(X_k=1)=\{\begin{array}{ll}0& (k\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{1}{2^{r+1}}}& (k=2r+1,r=0,1,2,\dots )\end{array}$$である。

(2)

各位置で、次の1回後の位置の平均を調べる。吸収点 $-1,3$ では次も同じ点にとどまるので、平均は現在位置に等しい。

また、一時的な状態については $0\to -1,1$ がそれぞれ確率 $1\mathrm{/}2$ で起こるので、次の位置の平均は $${\displaystyle \frac{-1+1}{2}}=0$$ である。

同様に、点1では次に0または2へ進むので平均は $${\displaystyle \frac{0+2}{2}}=1$$ であり、点2では次に1または3へ進むので平均は $${\displaystyle \frac{1+3}{2}}=2$$ である。

つまり、どの状態にいても「次の位置の平均」は現在位置そのものに等しい。したがって $E[X_{k+1}]=E[X_k]$ である。初めは $X_0=0$ なので $$E[X_k]=0(k=0,1,2,\dots )$$ である。

点1にいる確率から、偶数時刻の点0・2の確率を求める。
吸収点 $-1,3$ へ初めて入る各時刻の確率を等比和で足し、
全分布から期待値が0になることを直接確認する。

(1)

点1にいるのは奇数時刻だけである。1回後の確率は $1\mathrm{/}2$ であり、
点1から2回後に吸収されず点1へ戻る確率は$${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$P(X_k=1)=\{\begin{array}{ll}0& (k\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{1}{2^{r+1}}}& (k=2r+1,r\geqq 0)\mathrm{.}\end{array}$$(2)

$r\geqq 1$ のとき、時刻 $2r$ に点0、点2にいる確率はともに$${\displaystyle \frac{1}{2^{r+1}}}\mathrm{.}$$点 $-1$ へ初めて入る確率は、時刻1では $1\mathrm{/}2$、
時刻 $2j+1(j\geqq 1)$ では $2^{-j-2}$ である。
点3へ初めて入る確率は、時刻 $2j+1(j\geqq 1)$ で
同じく $2^{-j-2}$ である。

時刻 $2r+1$ では$$S_r=\sum _{j=1}^r{\displaystyle \frac{1}{2^{j+2}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(1-2^{-r})$$と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E[X_{2r+1}]}& {\displaystyle =-({\displaystyle \frac{1}{2}}+S_r)+3S_r+{\displaystyle \frac{1}{2^{r+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$時刻 $2r(r\geqq 1)$ でも$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E[X_{2r}]}& {\displaystyle =-({\displaystyle \frac{1}{2}}+S_{r-1})+3S_{r-1}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2^{r+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$$E[X_0]=0$ でもあるから、すべての $k\geqq 0$ で$$E[X_k]=0.$$