名古屋大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

52枚から $l$ 枚を抜き出す方法は ${}_{52}{\mathrm{C}}_l$ 通りである。

このうちハートが $k$ 枚であるためには、13枚のハートから $k$ 枚を選び、残り $l-k$ 枚を39枚のハート以外から選べばよい。したがって、そのような選び方は ${}_{13}{\mathrm{C}}_k{}_{39}{\mathrm{C}}_{l-k}$ 通りである。

よって求める確率は$${\displaystyle \frac{{}_{13}{\mathrm{C}}_k{}_{39}{\mathrm{C}}_{l-k}}{{}_{52}{\mathrm{C}}_l}}$$である。ただし、$k$ が $$\max (0,l-39)\leqq k\leqq \min (13,l)$$ を満たさない場合は確率0である。

(2)

(i)

まず $m\geqq 1$ とする。$m$ 枚のハートが連続して並ぶためには、$m$ 枚のハートを1つのかたまりとして考えればよい。

ハート以外の $n-m$ 枚を並べると、その前後と間に、ハートのかたまりを入れる位置が $n-m+1$ 通りある。ハート以外の並べ方は $(n-m)!$ 通り、かたまりの中のハートの並べ方は $m!$ 通りである。

したがって条件を満たす並べ方は $(n-m+1)(n-m)!m!$ 通りである。全体の並べ方は $n!$ 通りなので、確率は ${\displaystyle \frac{(n-m+1)m!(n-m)!}{n!}}$ である。

なお $m=0$ の場合はハートがないので、条件は自動的に満たされ、確率は1である。

(ii)

まず $n-m$ 枚のハート以外のカードを一列に並べる。この並べ方は $(n-m)!$ 通りである。この列の両端とカードの間には、ハートを入れられる場所が $n-m+1$ 個ある。

どのハートの隣もハート以外であるためには、同じ場所に2枚以上のハートを入れてはいけない。したがって、$n-m+1$ 個の場所から $m$ 個を選び、そこにハートを1枚ずつ入れる。場所の選び方は ${}_{n-m+1}{\mathrm{C}}_m$ 通りで、ハートの並べ方は $m!$ 通りである。

条件を満たす並べ方は $(n-m)!{}_{n-m+1}{\mathrm{C}}_{m}m!$ 通りである。全体の並べ方 $n!$ 通りで割ると$${\displaystyle \frac{(n-m)!m!{}_{n-m+1}{\mathrm{C}}_m}{n!}}={\displaystyle \frac{{}_{n-m+1}{\mathrm{C}}_m}{{}_n{\mathrm{C}}_m}}$$である。

ただし $m>n-m+1$ のときは、ハートを互いに隣り合わないように入れる場所が足りないので、確率は0である。

カードの種類をいったん忘れ、
$n$ 個の位置からハートの位置 $m$ 個を選ぶ等確率な模型に直す。
連続ブロックの開始位置と、隣接しない位置の選び方を数える。

(1)

$l$ 枚の位置のうちハートになる $k$ 枚を考える通常の超幾何分布から$$P={\displaystyle \frac{{}_{13}{\mathrm{C}}_k{}_{39}{\mathrm{C}}_{l-k}}{{}_{52}{\mathrm{C}}_l}}\mathrm{.}$$ただし$$\max (0,l-39)\leqq k\leqq \min (13,l)$$の外では確率は0である。

(2)

(i)

$n$ 個の位置からハートの位置 $m$ 個を選ぶ方法は
${}_n{\mathrm{C}}_m$ 通りで、どれも等確率である。
$m\geqq 1$ のとき、連続する $m$ 個の位置の開始点は$$1,2,\dots ,n-m+1$$の $n-m+1$ 通りだから$$P={\displaystyle \frac{n-m+1}{{}_n{\mathrm{C}}_m}}\mathrm{.}$$これは$${\displaystyle \frac{(n-m+1)m!(n-m)!}{n!}}$$とも書ける。$m=0$ では確率1とする。

(ii)

ハートの位置を$$1\leqq r_1<r_2<\cdots <r_m\leqq n$$とする。隣り合わない条件は $r_{j+1}\geqq r_j+2$ である。$$s_j=r_j-(j-1)$$と置けば$$1\leqq s_1<s_2<\cdots <s_m\leqq n-m+1.$$よって有利な位置集合は ${}_{n-m+1}{\mathrm{C}}_m$ 通りであり$$P={\displaystyle \frac{{}_{n-m+1}{\mathrm{C}}_m}{{}_n{\mathrm{C}}_m}}\mathrm{.}$$$m>n-m+1$ なら有利な位置集合はなく、確率は0である。