名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $q=1-p$ とおく。最初の持ち点はAもBも2なので、どちらかの持ち点が0になるには、同じ人が初めから2連勝するか、途中で状態2に戻った後に2連勝する必要がある。

ちょうど4回目で初めてどちらかの持ち点が0になるには、最初の2回で吸収されてはいけない。したがって、最初の2回はAとBが1勝ずつでなければならない。この確率は $pq+qp=2pq$ である。この時点で持ち点は再び $(2,2)$ に戻る。続く3回目と4回目でどちらかが連勝すれば、4回目に初めて一方の持ち点が0になる。Aが連勝する確率は $p^2$、Bが連勝する確率は $q^2$ であるから、求める確率は $2pq(p^2+q^2)$ である。すなわち $2p(1-p)\{p^2+(1-p{)}^2\}$ である。

(2)
Aの持ち点が0になるには、Aの持ち点が2から0まで2だけ減る必要があるので、起こる回数は偶数回である。$2m$ 回目に初めてAの持ち点が0になる場合を考える。

初期状態 $(2,2)$ から2回のゲームを見ると、AとBが1勝ずつなら持ち点は $(2,2)$ に戻り、その確率は $2pq$ である。Bが2連勝すればAの持ち点は0になり、その確率は $q^2$ である。Aが2連勝すればBの持ち点が0になるので、Aの持ち点が0になる場合には入らない。

したがって、$2m$ 回目に初めてAの持ち点が0になる確率は、最初の $m-1$ 組では毎回状態 $(2,2)$ に戻り、最後の1組でBが連勝する確率だから $(2pq{)}^{m-1}{q}^2$ である。よって $2n$ 回目までにAの持ち点が0になる確率は$$\sum _{m=1}^n(2pq{)}^{m-1}{q}^2=q^2{\displaystyle \frac{1-(2pq{)}^n}{1-2pq}}$$である。ここで $1-2pq=p^2+q^2>0$ だから分母は0にならない。したがって ${\displaystyle \frac{(1-p{)}^2\{1-\{2p(1-p){\}}^n\}}{1-2p(1-p)}}$ である。

2回を1段階とする確率漸化式を立てる。状態 $(2,2)$ から2回以内に、Bの2連勝でAが吸収、1勝1敗で同じ状態へ帰還、Aの2連勝で失敗終了となる。この再帰を解いて $2n$ 回以内の確率を得る。

(1)
ちょうど4回目でどちらかが0になるには、最初の2回で1勝1敗となって初期状態へ戻り、その次の2回でどちらかが連勝すればよい。従って$$2p(1-p)\{p^2+(1-p{)}^2\}\mathrm{.}$$(2)
$q=1-p$ と置き、$F_n$ を「状態 $(2,2)$ から始め、あと $2n$ 回以内にAの持ち点が0になる確率」とする。

最初の2回について、Bが2連勝する確率は $q^2$ で、このとき成功する。1勝1敗なら確率 $2pq$ で状態 $(2,2)$ へ戻り、残り $2n-2$ 回の問題になる。Aが2連勝すればBの持ち点が0になり、その後Aが0になることはない。従って$$F_n=q^2+2pq{F}_{n-1},F_0=0.$$順に代入すると$$F_n=q^2\{1+2pq+(2pq{)}^2+\cdots +(2pq{)}^{n-1}\}\mathrm{.}$$よって$$F_n={\displaystyle \frac{q^2\{1-(2pq{)}^n\}}{1-2pq}}={\displaystyle \frac{(1-p{)}^2[1-\{2p(1-p){\}}^n]}{1-2p(1-p)}}\mathrm{.}$$