名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
ちょうど $k$ 回目で初めて玉が2つ入った箱ができるには、$1$ 回目から $k-1$ 回目まではすべて異なる箱に入らなければならない。

1回目の入れ方は任意で確率 $N\mathrm{/}N$、2回目は1回目と違う箱を選ぶので確率 $(N-1)\mathrm{/}N$、以下同様に、$k-1$ 回目はそれまでの $k-2$ 個と違う箱を選ぶので確率 $(N-k+2)\mathrm{/}N$ である。そのうえで、$k$ 回目には既に玉が入っている $k-1$ 個の箱のどれかを選べばよいので、その確率は $(k-1)\mathrm{/}N$ である。

したがって、$2\leqq k\leqq N+1$ のとき $$P(N,k)={\displaystyle \frac{N(N-1)\cdots (N-k+2)(k-1)}{N^k}}$$ である。すなわち $$P(N,k)={\displaystyle \frac{(k-1)N(N-1)\cdots (N-k+2)}{N^k}}$$ である。

(2)
(1)に $N$ の代わりに $2N$、$k=N+1$ を代入する。すると $$P(2N,N+1)={\displaystyle \frac{(2N)(2N-1)\cdots (N+1)N}{(2N{)}^{N+1}}}$$ である。よって$$P(2N,N+1)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot (1-{\displaystyle \frac{1}{2N}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{N-1}{2N}})$$と書ける。対数を取り、$N$ で割ると$${\displaystyle \frac{1}{N}}\log P(2N,N+1)={\displaystyle \frac{1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}\log (1-{\displaystyle \frac{j}{2N}})+{\displaystyle \frac{1}{N}}\log {\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

第2項は ${\displaystyle \frac{1}{N}}\log {\displaystyle \frac{1}{2}}\to 0$ である。第1項は、$x_j=j\mathrm{/}N$ と見れば$${\displaystyle \frac{1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}\log (1-{\displaystyle \frac{x_j}{2}})$$であり、区分求積法により$${\int }_0^1\log (1-{\displaystyle \frac{x}{2}})dx$$に収束する。

この積分を計算する。$u=1-x\mathrm{/}2$ とおくと $dx=-2du$ で、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=1\mathrm{/}2$ である。したがって$${\int }_0^1\log (1-{\displaystyle \frac{x}{2}})dx=2{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\log udu$$である。部分積分または$$\int \log udu=u\log u-u$$より$$2{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\log udu=2[u\log u-u{]}_{1\mathrm{/}2}^1$$$$=2\{-1-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}})\}=\log 2-1$$ である。よって求める極限は $\log 2-1$ である。

$P(2N,N+1)$ を、使われる箱の個数が $2N,2N-1,\dots ,N+1$ と減る積として書く。対数を取った後、$j\mathrm{/}N\in [1,2]$ を用いる別の区分求積へ移し、$${\int }_1^2\log (x\mathrm{/}2)dx$$を計算する。

(1)
最初の $k-1$ 個が全て異なる箱へ入り、$k$ 個目が使用済みの $k-1$ 箱のどれかへ入ればよい。従って$$P(N,k)={\displaystyle \frac{(k-1)N(N-1)\cdots (N-k+2)}{N^k}}(2\leqq k\leqq N+1)\mathrm{.}$$(2)$$P(2N,N+1)={\displaystyle \frac{(2N)(2N-1)\cdots (N+1)N}{(2N{)}^{N+1}}}\mathrm{.}$$対数を取り、$j=N+1,\dots ,2N$ として並べ直すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{N}}\log P(2N,N+1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{N}}\sum _{j=N+1}^{2N}\log {\displaystyle \frac{j}{2N}}+{\displaystyle \frac{1}{N}}\log {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$第2項は0へ収束する。第1項は、区間 $[1,2]$ を幅 $1\mathrm{/}N$ で分けた区分求積だから$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}\sum _{j=N+1}^{2N}\log {\displaystyle \frac{j\mathrm{/}N}{2}}={\int }_1^2\log {\displaystyle \frac{x}{2}}dx\mathrm{.}$$積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^2\log {\displaystyle \frac{x}{2}}dx}& {\displaystyle ={[x\log {\displaystyle \frac{x}{2}}-x]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log 2-1.}\end{array}$$従って求める極限は$$\log 2-1$$である。