名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $a=2$, $b=1$ のとき、領域 $D$ は ${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{4}}+y^2\le 1$ で表される。したがって中心は $(-1,0)$ であり、横方向の半径は2、縦方向の半径は1である。左右の端点は $(-3,0),(1,0)$ で、上下の端点は $(-1,1),(-1,-1)$ である。この楕円の内部を図示すればよい。

(2) $D$ の点は $$x=1-a+au,y=bv,u^2+v^2\le 1$$ と表せる。固定した $u$ に対して $x^2+y^2$ は $v^2$ が大きいほど大きくなるので、$D\subset E$ の判定には境界 $$v^2=1-u^2(-1\le u\le 1)$$ を調べればよい。

このとき $$x^2+y^2-1=(1-a+au{)}^2+b^2(1-u^2)-1$$ である。これを整理すると $$x^2+y^2-1=(u-1)\{(a^2-b^2)u-a^2+2a-b^2\}$$ となる。 $-1\le u\le 1$ では $u-1\le 0$ であるから、すべての $u$ で $x^2+y^2-1\le 0$ となるためには $$L(u)=(a^2-b^2)u-a^2+2a-b^2$$ が $[-1,1]$ で0以上であればよい。$L(u)$ は一次関数なので、端点を調べれば十分である。 $$L(-1)=2a(1-a),L(1)=2(a-b^2)$$ である。$a,b$ は正数だから、条件は $$a\le 1,b^2\le a$$ である。

したがって求める条件は $$0<a\le 1,0<b\le \sqrt{a}$$ である。$ab$ 平面では、$a$ 軸方向に $0<a\le 1$ の範囲を取り、その上で曲線 $$b=\sqrt{a}$$ の下側、ただし $b>0$ の部分である。

楕円の境界を $u=\cos \theta$, $v=\sin \theta$ で表し、原点からの距離が1以下になる条件を調べる。右端 $(1,0)$ が常に単位円上にあるため、距離の差には $u-1$ が因数として現れる。

(1)
$a=2$, $b=1$ のとき$${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{4}}+y^2\leqq 1.$$中心は $(-1,0)$、横半径2、縦半径1であり、この楕円の内部が $D$ である。

(2)
楕円の境界を$$x=1-a+au,y=bv,u^2+v^2=1$$と表す。$v^2=1-u^2$ を代入すると$$x^2+y^2-1=(u-1)\{(a^2-b^2)u-a^2+2a-b^2\}\mathrm{.}$$$-1\leqq u\leqq 1$ では $u-1\leqq 0$ なので、後ろの一次式が区間全体で非負であればよい。両端で調べると$$2a(1-a)\geqq 0,2(a-b^2)\geqq 0.$$$a,b>0$ と合わせて$$0<a\leqq 1,0<b\leqq \sqrt{a}\mathrm{.}$$$ab$ 平面では、曲線 $$b=\sqrt{a}$$ の下側で $0<a\leqq 1$, $b>0$ の領域である。