名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・数と式文系数学 第3問(b)

$AP=x$, $AQ=y$ とおく。$0<x\le 10$, $0<y\le 8$ である。

まず三角形 $ABC$ について余弦定理を用いると、$$\cos A={\displaystyle \frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}}={\displaystyle \frac{{10}^2+8^2-6^2}{2\cdot 10\cdot 8}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$$である。

(1) 三角形 $APQ$ と三角形 $ABC$ は、どちらも頂角 $A$ を含む。したがって面積比は $${\displaystyle \frac{[APQ]}{[ABC]}}={\displaystyle \frac{AP\cdot AQ}{AB\cdot AC}}={\displaystyle \frac{xy}{10\cdot 8}}$$ である。条件よりこの比は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから $xy=40$ である。

また、余弦定理より $$P{Q}^2=x^2+y^2-2xy\cos A=x^2+y^2-{\displaystyle \frac{8}{5}}xy$$ である。$u=x+y$ とおくと $x^2+y^2=u^2-2xy=u^2-80$ なので $P{Q}^2=u^2-80-64=u^2-144$ となる。したがって $$PQ=\sqrt{u^2-144}$$ であり、三角形 $APQ$ の周の長さは $$l=u+\sqrt{u^2-144}$$ である。

(2) $xy=40$ であるから、相加相乗平均より $$u=x+y\ge 2\sqrt{xy}=4\sqrt{10}$$ である。等号は $$x=y=2\sqrt{10}$$ のとき成立する。この値は $$2\sqrt{10}<8<10$$ を満たすので、実際に $P,Q$ はそれぞれ辺上に取れる。 $u>12$ の範囲では $$l(u)=u+\sqrt{u^2-144}$$ は増加関数である。実際、$$l^{\mathrm{\prime }}(u)=1+{\displaystyle \frac{u}{\sqrt{u^2-144}}}>0$$ である。したがって $l$ は $$u=4\sqrt{10}$$ のとき最小となる。

このとき $$PQ=\sqrt{(4\sqrt{10}{)}^2-144}=\sqrt{160-144}=4$$ であるから、最小値は $4\sqrt{10}+4$ である。

したがって$$AP=AQ=2\sqrt{10},l_{\min }=4\sqrt{10}+4$$である。

積 $AP\cdot AQ=40$ を保ったまま $AP=x$, $AQ=40\mathrm{/}x$ と置き、周長を一変数関数として調べる。対称性から $x=40\mathrm{/}x$ が候補になり、微分で唯一の最小点であることを確認する。

(1)
$AP=x$, $AQ=y$ とする。面積比から$${\displaystyle \frac{[APQ]}{[ABC]}}={\displaystyle \frac{xy}{10\cdot 8}}={\displaystyle \frac{1}{2}},xy=40.$$また余弦定理より $\cos A=4\mathrm{/}5$ だから$$P{Q}^2=x^2+y^2-{\displaystyle \frac{8}{5}}xy\mathrm{.}$$$u=x+y$ を用いると$$P{Q}^2=u^2-2xy-{\displaystyle \frac{8}{5}}xy=u^2-144.$$よって$$l=u+\sqrt{u^2-144}\mathrm{.}$$(2)
$y=40\mathrm{/}x$ とおくと $0<x\leqq 10$, $0<40\mathrm{/}x\leqq 8$ である。さらに$$u(x)=x+{\displaystyle \frac{40}{x}},u^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{40}{x^2}}\mathrm{.}$$したがって $u$ は $$x=2\sqrt{10}$$ で最小となり、そのとき$$x=y=2\sqrt{10},u=4\sqrt{10}\mathrm{.}$$$$l=u+\sqrt{u^2-144}$$ は $u>12$ で増加するので$$AP=AQ=2\sqrt{10},l_{\min }=4\sqrt{10}+4.$$