名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
接点の $x$ 座標を $\xi$ とし、$s=\xi +1$ とおく。条件 $0\leqq \xi \leqq e-1$ より $1\leqq s\leqq e$ である。曲線 $y=\log (x+1)$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ だから、接線の傾きは $a={\displaystyle \frac{1}{s}}$ である。また接点は $(s-1,\log s)$ なので $\log s={\displaystyle \frac{1}{s}}(s-1)+b$ より $$b=\log s-{\displaystyle \frac{s-1}{s}}$$ である。 $a=1\mathrm{/}s$ から $s=1\mathrm{/}a$ である。したがって ${\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq a\leqq 1$ であり、$$b=\log {\displaystyle \frac{1}{a}}-(1-a)=-\log a-1+a$$ である。よって存在範囲は $$b=-\log a-1+a,{\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq a\leqq 1$$ で表される曲線の弧である。

(2)
接線は $$y=\log s+{\displaystyle \frac{x-(s-1)}{s}}$$ である。$\log x$ 型の曲線は上に凹なので、接線は曲線の上側にある。したがって面積は $$S(s)={\int }_0^{e-1}\{\log s+{\displaystyle \frac{x-(s-1)}{s}}-\log (x+1)\}dx$$ である。

まず $${\int }_0^{e-1}\log (x+1)dx={\int }_1^e\log udu=[u\log u-u{]}_1^e=1$$ である。また$${\int }_0^{e-1}\{\log s+{\displaystyle \frac{x-(s-1)}{s}}\}dx=(e-1)\log s+{\displaystyle \frac{(e-1{)}^2}{2s}}-{\displaystyle \frac{(s-1)(e-1)}{s}}$$である。よって $$S(s)=(e-1)\log s+(e-1)\{{\displaystyle \frac{e+1}{2s}}-1\}-1$$ である。

微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(s)={\displaystyle \frac{e-1}{s}}-{\displaystyle \frac{(e-1)(e+1)}{2s^2}}={\displaystyle \frac{e-1}{s^2}}(s-{\displaystyle \frac{e+1}{2}})$$である。$1\leqq s\leqq e$ において、$S(s)$ は $s=(e+1)\mathrm{/}2$ で最小となる。したがって $$s={\displaystyle \frac{e+1}{2}}$$ であり、$$a={\displaystyle \frac{2}{e+1}},b=\log {\displaystyle \frac{e+1}{2}}-{\displaystyle \frac{e-1}{e+1}}$$ である。

このとき $(e+1)\mathrm{/}(2s)-1=0$ なので、最小面積は $$S_{\min }=(e-1)\log {\displaystyle \frac{e+1}{2}}-1$$ である。

接点を $s=\xi +1$ で表す。接線と曲線の面積差では、
接線部分の積分を「区間長×中点での接線値」として一度に計算する。
結果は $\log s+(e+1)\mathrm{/}(2s)$ の最小化に帰着する。

(1)
接点を $(s-1,\log s)$ とすれば $1\leqq s\leqq e$ であり、接線は$$y=\log s+{\displaystyle \frac{x-s+1}{s}}\mathrm{.}$$したがって$$a={\displaystyle \frac{1}{s}},b=\log s-{\displaystyle \frac{s-1}{s}}\mathrm{.}$$$s=1\mathrm{/}a$ を代入して$$b=-\log a-1+a,{\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq a\leqq 1.$$(2)
$\log (x+1)$ は上に凹なので、接線は曲線以上にある。
接線は一次関数だから、その $0\leqq x\leqq e-1$ における積分は
区間長と中点 $x=(e-1)\mathrm{/}2$ での値の積に等しい。よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(s)}& {\displaystyle =(e-1)\{\log s+{\displaystyle \frac{(e-1)\mathrm{/}2-s+1}{s}}\}-{\int }_0^{e-1}\log (x+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(e-1)\{\log s+{\displaystyle \frac{e+1}{2s}}-1\}-1.}\end{array}$$ここで$$S^{\mathrm{\prime }}(s)={\displaystyle \frac{e-1}{s^2}}(s-{\displaystyle \frac{e+1}{2}})\mathrm{.}$$よって $s=(e+1)\mathrm{/}2$ で最小となり、$$a={\displaystyle \frac{2}{e+1}},b=\log {\displaystyle \frac{e+1}{2}}-{\displaystyle \frac{e-1}{e+1}},$$$$S_{\min }=(e-1)\log {\displaystyle \frac{e+1}{2}}-1.$$