名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

円 $C_n$ は $x$ 軸に接し、中心が $(a_n,b_n)$ であるから、半径は $b_n$ である。

(1) 円 $C_0$ の中心は $(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$、半径は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。$C_n$ と $C_0$ は外接するので、中心間距離は半径の和に等しい。したがって $$a_n^2+{(b_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={(b_n+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$ である。両辺を展開すると $$a_n^2+b_n^2-b_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}=b_n^2+b_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ より $$b_n={\displaystyle \frac{a_n^2}{2}}$$ を得る。

(2) 隣り合う円 $C_{n-1}$ と $C_n$ は外接するから、$$(a_n-a_{n-1}{)}^2+(b_n-b_{n-1}{)}^2=(b_n+b_{n-1}{)}^2$$ である。右辺と左辺の $b$ の項を整理すると $$(a_n-a_{n-1}{)}^2=4b_n{b}_{n-1}$$ となる。(1) より $b_k={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_k^2$ だから $$(a_n-a_{n-1}{)}^2=a_n^2{a}_{n-1}^2$$ である。よって $$\mathrm{\mid }{a}_n-a_{n-1}\mathrm{\mid }=a_n{a}_{n-1}$$ を得る。

ここで $C_1$ の中心は $(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ である。$C_2$ は $C_0,C_1$ と $x$ 軸に接するもう一つの円であり、$0<a_2<a_1$ だから $a_1-a_2=a_1{a}_2$ より $a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。以後も $C_n$ は $C_{n-2}$ とは異なる円を選ぶので、正の列 $a_n$ は $a_n<a_{n-1}$ を満たす。したがって $a_{n-1}-a_n=a_n{a}_{n-1}$ であり、両辺を $a_n{a}_{n-1}$ で割ると $${\displaystyle \frac{1}{a_n}}={\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}}}+1$$ となる。 $a_1=1$ であるから ${\displaystyle \frac{1}{a_n}}=n$ であり、$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。

中心の横座標を直接追う代わりに、その逆数を接円の番号とみなす。外接条件から隣接する二つの横座標の差が積に等しいことを出し、逆数の差が1であることを示す。

(1)
$C_n$ の半径は中心の高さ $b_n$ である。$C_0$ との外接条件は$$a_n^2+{(b_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={(b_n+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$だから$$b_n={\displaystyle \frac{a_n^2}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$C_{n-1}$ と $C_n$ の外接条件から$$(a_{n-1}-a_n{)}^2=4b_{n-1}{b}_n=a_{n-1}^2{a}_n^2\mathrm{.}$$指定された「$C_{n-2}$ でない方」の円は $C_0$ と $C_{n-1}$ の間に入るので
$0<a_n<a_{n-1}$ である。よって$$a_{n-1}-a_n=a_{n-1}{a}_n,{\displaystyle \frac{1}{a_n}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}}}=1.$$$a_1=1$ から$${\displaystyle \frac{1}{a_n}}=1+(n-1)=n\mathrm{.}$$したがって$$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\mathrm{.}$$