名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$0<c<1$ とする。条件 $g(x)=c$ は $-\mathrm{\mid }2f(x)-1\mathrm{\mid }+1=c$ であるから $\mathrm{\mid }2f(x)-1\mathrm{\mid }=1-c$ と同値である。よって $2f(x)-1=1-c$ または $2f(x)-1=-(1-c)$ である。したがって $$f(x)=1-{\displaystyle \frac{c}{2}}$$ または $$f(x)={\displaystyle \frac{c}{2}}$$ となる。

次に $f(x)=u$ を解く。$0<u<1$ とすると $-\mathrm{\mid }2x-1\mathrm{\mid }+1=u$ より $\mathrm{\mid }2x-1\mathrm{\mid }=1-u$ である。したがって $$2x-1=1-u\text{または}2x-1=-(1-u)$$ であり、$$x=1-{\displaystyle \frac{u}{2}},x={\displaystyle \frac{u}{2}}$$ を得る。

ここで $0<c<1$ なので、$u=c\mathrm{/}2$ も $u=1-c\mathrm{/}2$ も $(0,1)$ に入る。したがって、すべての解は $$u={\displaystyle \frac{c}{2}}$$ から $$x={\displaystyle \frac{c}{4}},x=1-{\displaystyle \frac{c}{4}}$$ であり、$$u=1-{\displaystyle \frac{c}{2}}$$ から $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{c}{4}},x={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{c}{4}}$$ である。

よって求める解は$$x={\displaystyle \frac{c}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{c}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{c}{4}},1-{\displaystyle \frac{c}{4}}$$である。いずれも $0<c<1$ より $[0,1]$ に含まれる。

テント型関数 $f$ を2区間に分け、
$g=f\circ f$ を4区間の一次式として書く。
各区間で $g(x)=c$ を解き、範囲条件から4解を確定する。

区間ごとに$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 2-2x& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1)\end{array}$$である。さらに $g(x)=f(f(x))$ だから、$f(x)=1\mathrm{/}2$ となる
$x=1\mathrm{/}4,3\mathrm{/}4$ でも区間を分けると$$g(x)=\{\begin{array}{ll}4x& (0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}),\\ 2-4x& ({\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 4x-2& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}),\\ 4-4x& ({\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq x\leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$$0<c<1$ なので、各区間に $g(x)=c$ の解がちょうど1個ずつある。
順に解けば$$x={\displaystyle \frac{c}{4}},x={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{c}{4}},x={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{c}{4}},x=1-{\displaystyle \frac{c}{4}}\mathrm{.}$$これらは互いに異なり、すべて $[0,1]$ に入る。したがって求める解は$$\{{\displaystyle \frac{c}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{c}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{c}{4}},1-{\displaystyle \frac{c}{4}}\}\mathrm{.}$$