名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x(x-1)\mathrm{.}$$したがって$f$は$(-\mathrm{\infty },0)$で増加，$(0,1)$で減少，$(1,\mathrm{\infty })$で増加する。また$$f(0)=1,f(1)=0$$だから，$(0,1)$で極大，$(1,0)$で極小となる。さらに$$f(x)=(x-1{)}^2(2x+1)$$より，$x$軸とは$(-1\mathrm{/}2,0)$で交わり，$(1,0)$で接する。以上から下図のグラフを得る。

(2)

(1) より，相異なる3つの実数解をもつ条件は$$0<a<1$$である。方程式は$$2x^3-3x^2+1-a=0$$だから，解と係数の関係より$$\alpha +\beta +\gamma ={\displaystyle \frac{3}{2}},\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0.$$$$s=\alpha +\gamma ={\displaystyle \frac{3}{2}}-\beta$$とおくと，第2式から$$\alpha \gamma =-\beta (\alpha +\gamma )=-\beta s\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle l^2}& {\displaystyle =(\gamma -\alpha {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha +\gamma {)}^2-4\alpha \gamma }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s^2+4\beta s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{3}{2}}-\beta )({\displaystyle \frac{3}{2}}+3\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-3{\beta }^2+3\beta +{\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$$l>0$であるから$$l=\sqrt{-3{\beta }^2+3\beta +{\displaystyle \frac{9}{4}}}\mathrm{.}$$(3)

$0<a<1$のとき，減少区間$(0,1)$にある中央の解$\beta$は$$0<\beta <1$$をちょうど動く。(2)の式を平方完成すると$$l^2=3-3{(\beta -{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\mathrm{.}$$$0<\beta <1$より$${\displaystyle \frac{9}{4}}<l^2\leqq 3.$$等号$l^2=3$は$\beta =1\mathrm{/}2$で実現し，下端は$\beta =0,1$を含まないため実現しない。よって$${\displaystyle \frac{3}{2}}<l\leqq \sqrt{3}\mathrm{.}$$

$0<a<1$では水平線が3点で交わり，中央の交点は$0<\beta <1$を動く。