名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

曲線を $F(x)=-a{x}^3+bx+c$ とおく。接点の $x$ 座標を $s$ とすると、接点は $(s,F(s))$ であり、接線の方程式は $y=F^{\mathrm{\prime }}(s)(x-s)+F(s)$ である。

この接線が点 $(0,t)$ を通る条件は、$x=0,y=t$ を代入して $t=F(s)-s{F}^{\mathrm{\prime }}(s)$ である。ここで $F^{\mathrm{\prime }}(s)=-3a{s}^2+b$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(s)-s{F}^{\mathrm{\prime }}(s)}& {\displaystyle =(-a{s}^3+bs+c)-s(-3a{s}^2+b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a{s}^3+c\mathrm{.}}\end{array}$$したがって接線が $(0,t)$ を通る条件は $t=2a{s}^3+c$ である。 $a>0$ なので関数 $2a{s}^3+c$ は $s$ について狭義単調増加であり、実数全体を値域にもつ。よって任意の実数 $t$ に対して、これを満たす実数 $s$ はただ1つ存在する。接点 $s$ が一意に定まるので、接線もただ一本存在する。

(2)

接線の傾きは $F^{\mathrm{\prime }}(s)=b-3a{s}^2$ である。これが正であるための条件は $b-3a{s}^2>0$ である。

もし $b\leqq 0$ なら、$a>0$ より $b-3a{s}^2\leqq 0$ であるから、正の傾きをもつ接線は存在しない。したがって、この場合に該当する $t$ はない。

以下 $b>0$ とする。このとき $$s^2<{\displaystyle \frac{b}{3a}}$$ すなわち $$-\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}<s<\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}$$ である。$t=2a{s}^3+c$ は $s$ について狭義単調増加なので、$t$ の範囲は端の値を代入して$$c-2a{\left({\displaystyle \frac{b}{3a}}\right)}^{3\mathrm{/}2}<t<c+2a{\left({\displaystyle \frac{b}{3a}}\right)}^{3\mathrm{/}2}$$である。これを整理すると$$c-{\displaystyle \frac{2b}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}<t<c+{\displaystyle \frac{2b}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}$$である。

以上より、$b\leqq 0$ のときは該当する $t$ はなく、$b>0$ のときは上の開区間が求める範囲である。

点 $(0,t)$ を通る条件から接点 $s$ を
$t$ の立方根として明示する。
その式を傾き $b-3a{s}^2$ に直接代入し、正となる条件を解く。

(1)

接点を $(s,-a{s}^3+bs+c)$ とすると、接線の $y$ 切片は$$-a{s}^3+bs+c-s(-3a{s}^2+b)=2a{s}^3+c$$である。したがって点 $(0,t)$ を通る条件は$$2a{s}^3+c=t\mathrm{.}$$$a>0$ だから$$s=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{t-c}{2a}}}$$とただ1通りに定まり、対応する接線もただ1本である。

(2)

この接線の傾きが正である条件は$$b-3a{s}^2>0.$$$b\leqq 0$ なら左辺は正にならないので、該当する $t$ はない。
$b>0$ のときは$$\mid \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{t-c}{2a}}}\mid <\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}\mathrm{.}$$両辺は非負なので3乗して$$\mathrm{\mid }t-c\mathrm{\mid }<2a{\left({\displaystyle \frac{b}{3a}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{2b}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}\mathrm{.}$$よって求める範囲は$$c-{\displaystyle \frac{2b}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}<t<c+{\displaystyle \frac{2b}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{3a}}}$$である。