名古屋大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)=x^3-x^2$ とおく。まず $f(x)=x^2(x-1)$ であるから、$x$ 軸との共有点は $x=0,x=1$ である。$x=0$ は重解なので、グラフは原点で $x$ 軸に接する。

次に微分すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2x=x(3x-2)$ である。したがって増減は$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },0)& (0,2\mathrm{/}3)& (2\mathrm{/}3,\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +\end{array}$$である。よって $x=0$ で極大値 $f(0)=0$ をとり、$x=2\mathrm{/}3$ で極小値 $$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}-\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}$$ をとる。また、最高次係数は正なので、$x\to -\mathrm{\infty }$ で $f(x)\to -\mathrm{\infty }$、$x\to \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to \mathrm{\infty }$ である。

以上より、原点で $x$ 軸に接して極大となり、$(2\mathrm{/}3,-4\mathrm{/}27)$ で極小となり、$(1,0)$ を通る3次曲線である。

増減と主要な点を図にまとめると次のようになる。

(2)
接点を $(t,f(t))$ とする。この点における接線は $y=f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)$ である。この直線が点 $(3\mathrm{/}2,0)$ を通る条件は $$0=f^{\mathrm{\prime }}(t)(\frac{3}{2}-t)+f(t)$$ である。すなわち $$f(t)=f^{\mathrm{\prime }}(t)(t-\frac{3}{2})$$ である。

ここで $f(t)=t^3-t^2$、$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-2t$ を代入すると $$t^3-t^2=(3t^2-2t)(t-\frac{3}{2})$$ である。整理して $t(4t-3)(t-2)=0$ を得る。したがって $$t=0,t=\frac{3}{4},t=2$$ である。

各接点での傾きは$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0,f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{3}{4}\right)=3\cdot \frac{9}{16}-2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16},f^{\mathrm{\prime }}(2)=8$$である。したがって求める接線は、いずれも $(3\mathrm{/}2,0)$ を通るので$$y=0,y=\frac{3}{16}(x-\frac{3}{2}),y=8(x-\frac{3}{2})$$である。

(3)
方程式 $$x^3-x^2=p(x-\frac{3}{2})$$ の異なる実数解の個数は、曲線 $y=f(x)=x^3-x^2$ と直線 $$y=p(x-\frac{3}{2})$$ の共有点の個数である。この直線は常に点 $(3\mathrm{/}2,0)$ を通り、傾きが $p$ である。

共有点の個数が変わるのは、直線が曲線に接するときである。(2) より、そのときの傾きは $0,\frac{3}{16},8$ である。したがって、これらを境に個数を調べればよい。

(1) のグラフと、$(3\mathrm{/}2,0)$ を通る直線の傾きを比べると、次のようになる。$p<0$ のとき共有点は1個である。$p=0$ のときは $x^3-x^2=0$ すなわち $x=0,1$ で、異なる実数解は2個である。$0<p<3\mathrm{/}16$ では3個の共有点をもつ。 $p=3\mathrm{/}16$ では $x=3\mathrm{/}4$ で接し、もう1点で交わるので異なる実数解は2個である。$3\mathrm{/}16<p<8$ では共有点は1個である。$p=8$ では $x=2$ で接し、もう1点で交わるので異なる実数解は2個である。$p>8$ では再び共有点は3個である。

よって異なる実数解の個数は$$\{\begin{array}{ll}3& (0<p<{\displaystyle \frac{3}{16}},p>8),\\ 2& (p=0,{\displaystyle \frac{3}{16}},8),\\ 1& (p<0,{\displaystyle \frac{3}{16}}<p<8)\end{array}$$である。