名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$n$ は正の整数であるから、$u={\displaystyle \frac{1}{n}}$ とおくと $0<u\le 1$ である。

まず $$f(t)=(1+t{)}^{1\mathrm{/}5}(t>-1)$$ とおくと、$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{4}{25}}(1+t{)}^{-9\mathrm{/}5}<0$$ である。したがって $f$ は上に凸であり、点 $t=0$ における接線 $$y=1+{\displaystyle \frac{t}{5}}$$ より下にある。よって $u>0$ に対して $$(1+u{)}^{1\mathrm{/}5}<1+{\displaystyle \frac{u}{5}}$$ である。これより $$a=(1+u{)}^{1\mathrm{/}5}-1<{\displaystyle \frac{u}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5n}}=c$$ を得る。

次に $-u\in [-1,0)$ を代入しても、同じ接線評価から $$(1-u{)}^{1\mathrm{/}5}<1-{\displaystyle \frac{u}{5}}$$ が成り立つ。したがって $$b=1-(1-u{)}^{1\mathrm{/}5}>{\displaystyle \frac{u}{5}}=c$$ である。

以上より $a<c<b$ である。

平均値の定理を左右の増分に適用する。導関数 $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^{-4\mathrm{/}5}$ は正で単調減少するため、区間 $[1,1+1\mathrm{/}n]$ の平均変化率は $1\mathrm{/}5$ より小さく、区間 $[1-1\mathrm{/}n,1]$ の平均変化率は $1\mathrm{/}5$ より大きい。

$n=1$ のときは $b=1>1\mathrm{/}5=c$ を直接確認できる。以下 $n\geqq 2$ とし、$u={\displaystyle \frac{1}{n}}$ とおく。$g(x)=x^{1\mathrm{/}5}$ に平均値の定理を用いると、ある
$1<\xi <1+u$ と $1-u<\eta <1$ が存在して$$a=g(1+u)-g(1)={\displaystyle \frac{u}{5{\xi }^{4\mathrm{/}5}}},b=g(1)-g(1-u)={\displaystyle \frac{u}{5{\eta }^{4\mathrm{/}5}}}$$となる。ここで $\xi >1$, $0<\eta <1$ である。したがって$$a<{\displaystyle \frac{u}{5}}=c<b\mathrm{.}$$ゆえに大小関係は$$a<c<b$$である。