名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$b>0$ なので $$x={\displaystyle \frac{a}{b}}$$ とおく。このとき $x\geqq 1$ である。求める不等式の両辺を $b^n$ で割ると $$x^n-1\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(x-1)(x^{n-1}+1)$$ を示せばよいことになる。 $x=1$ のときは両辺とも0であり、等号で成り立つ。以下 $x>1$ とする。このとき $$x^n-1=(x-1)(1+x+\cdots +x^{n-1})$$ であるから、$x-1>0$ で割って $$1+x+\cdots +x^{n-1}\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(1+x^{n-1})$$ を示せば十分である。

任意の $k=0,1,\dots ,n-1$ について、$x\geqq 1$ より $(x^k-1)(x^{n-1-k}-1)\geqq 0$ である。これを展開すると $x^{n-1}-x^k-x^{n-1-k}+1\geqq 0$ だから $x^k+x^{n-1-k}\leqq 1+x^{n-1}\mathrm{.}$ この不等式を $k=0,1,\dots ,n-1$ についてすべて足す。左辺では各項 $x^0,x^1,\dots ,x^{n-1}$ が2回ずつ現れるので $$2(1+x+\cdots +x^{n-1})\leqq n(1+x^{n-1})\mathrm{.}$$ したがって $$1+x+\cdots +x^{n-1}\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(1+x^{n-1})$$ である。

よって $$x^n-1\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(x-1)(x^{n-1}+1)$$ が成り立ち、元の変数に戻して $$a^n-b^n\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(a-b)(a^{n-1}+b^{n-1})$$ が証明された。

$n=1$ を分け、$n\geqq 2$ では $f(t)=t^{n-1}$ のグラフが下に凸であることを使う。区間 $[b,a]$ でグラフを両端を結ぶ弦の下から評価して積分する。

$n=1$ のときは両辺が $a-b$ で等しい。以下 $n\geqq 2$ とする。$$f(t)=t^{n-1}(t>0)$$とおくと$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=(n-1)(n-2)t^{n-3}\geqq 0.$$したがって $f$ のグラフは、区間 $[b,a]$ で両端を結ぶ弦の下側にある。すなわち $b\leqq t\leqq a$ に対し$$t^{n-1}\leqq {\displaystyle \frac{a-t}{a-b}}{b}^{n-1}+{\displaystyle \frac{t-b}{a-b}}{a}^{n-1}\mathrm{.}$$両辺を $b$ から $a$ まで積分すると$${\int }_b^a{t}^{n-1}dt\leqq {\displaystyle \frac{a-b}{2}}(a^{n-1}+b^{n-1})\mathrm{.}$$左辺に$$n{\int }_b^a{t}^{n-1}dt=a^n-b^n$$を用いれば$$a^n-b^n\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}(a-b)(a^{n-1}+b^{n-1})$$を得る。