名古屋大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x^3$ を $(x-a{)}^2$ で割った余りを $px+q$ とおく。このとき $x^3-(px+q)$ は $(x-a{)}^2$ で割り切れる。したがって $x=a$ を代入した値が0であり、さらに微分した式も $x=a$ で0になる。

まず値から $a^3-(pa+q)=0$ すなわち $pa+q=a^3$ である。次に微分すると $3x^2-p$ であるから、$x=a$ で $3a^2-p=0$ となる。よって $p=3a^2$ であり、これを $pa+q=a^3$ に代入して $3a^3+q=a^3$ だから $q=-2a^3$ である。

したがって求める余りは $3a^{2}x-2a^3$ である。

(2) $f(x)=x^2+\alpha x+\beta$ で割ることを考える。$f(x)$ を法として $$x^2\equiv -\alpha x-\beta$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^3}& {\displaystyle =x\cdot x^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv x(-\alpha x-\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\alpha x^2-\beta x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv -\alpha (-\alpha x-\beta )-\beta x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\alpha }^2-\beta )x+\alpha \beta }\end{array}$$である。

この余りが $3x+b$ であるから、係数を比較して $${\alpha }^2-\beta =3,\alpha \beta =b$$ を得る。よって $\beta ={\alpha }^2-3$ であり、$$b=\alpha ({\alpha }^2-3)={\alpha }^3-3\alpha$$ である。

逆に、実数 $\alpha$ が $b={\alpha }^3-3\alpha$ を満たせば、$\beta ={\alpha }^2-3$ とおくことで、条件を満たす2次式 $f(x)=x^2+\alpha x+\beta$ がただ1つ定まる。したがって、求める個数は方程式 ${\alpha }^3-3\alpha =b$ の実数解の個数に等しい。 $$h(\alpha )={\alpha }^3-3\alpha$$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=3{\alpha }^2-3=3(\alpha -1)(\alpha +1)$$ である。よって $h$ は$$(-\mathrm{\infty },-1)\text{で増加},(-1,1)\text{で減少},(1,\mathrm{\infty })\text{で増加}$$する。また $h(-1)=2,h(1)=-2$ である。

したがって水平線 $y=b$ との交点の個数を考えると、条件を満たす $f(x)$ の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (b<-2\text{ または }2<b),\\ 2& (b=-2\text{ または }b=2),\\ 3& (-2<b<2)\end{array}$$である。

(1) は $x=a+t$ とおいて二項展開し、$t^2$ 以上の項を除くことで余りを直接読む。(2)は筆算に相当する恒等式で余りを求める。得られる $b={\alpha }^3-3\alpha$ については微分を使わず、差の因数分解から3区間での単調性を示して水平線との交点数を数える。

(1) $t=x-a$ とおくと $x=a+t$ である。二項展開により$$x^3=(a+t{)}^3=a^3+3a^{2}t+3a{t}^2+t^3\mathrm{.}$$$(x-a{)}^2=t^2$ で割った余りには $t^2$ 以上の項は残らない。したがって余りは$$a^3+3a^{2}t=a^3+3a^2(x-a)=3a^{2}x-2a^3$$である。

(2) 多項式の筆算を恒等式で書くと$$x^3=(x^2+\alpha x+\beta )(x-\alpha )+({\alpha }^2-\beta )x+\alpha \beta$$である。したがって余りが $3x+b$ であるための必要十分条件は$${\alpha }^2-\beta =3,\alpha \beta =b\mathrm{.}$$よって$$\beta ={\alpha }^2-3,b={\alpha }^3-3\alpha$$となる。各 $\alpha$ に対して $\beta$ は一意に決まるから、2次式の個数は$$h(\alpha )=b,h(t)=t^3-3t$$の実数解の個数に等しい。

ここでは微分を使わずに $h$ の動きを調べる。$s<t$ に対して$$h(t)-h(s)=(t-s)(t^2+ts+s^2-3)$$である。$s<t\leqq -1$ または $1\leqq s<t$ なら
$t^2+ts+s^2>3$ なので $h(t)>h(s)$ である。一方、
$-1\leqq s<t\leqq 1$ では $t^2+ts+s^2<3$ なので $h(t)<h(s)$ である
（端点を含む等号の場合も区間全体の単調性を損なわない）。

したがって $h$ は $(-\mathrm{\infty },-1]$ で増加、$[-1,1]$ で減少、$[1,\mathrm{\infty })$ で増加する。また$$h(-1)=2,h(1)=-2.$$よって水平線 $y=b$ との交点数は$$\{\begin{array}{ll}1& (b<-2\text{ または }b>2),\\ 2& (b=\pm 2),\\ 3& (-2<b<2)\end{array}$$であり、これが求める2次式 $f(x)$ の個数である。