名古屋大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$U=\sqrt{9+2\sqrt{17}},V=\sqrt{9-2\sqrt{17}}$$ とおく。このとき $$U^2+V^2=(9+2\sqrt{17})+(9-2\sqrt{17})=18$$ であり、また $$U^2{V}^2=(9+2\sqrt{17})(9-2\sqrt{17})=81-68=13$$ である。$U,V$ は正なので $$UV=\sqrt{13}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (U+V{)}^2}& {\displaystyle =U^2+V^2+2UV}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18+2\sqrt{13}}\end{array}$$である。よって $18+2\sqrt{13}$ である。

(2) $$A=\sqrt{13},B=U+V$$ とおく。(1)より $B^2=18+2A$ であり、また $\alpha =A+B$ である。したがって $B=\alpha -A$ であるから $(\alpha -A{)}^2=18+2A$ が成り立つ。展開して $A^2=13$ を用いると $${\alpha }^2-2A\alpha +13=18+2A$$ であり、整理して ${\alpha }^2-5=2A(\alpha +1)$ を得る。両辺を2乗し、$A^2=13$ を用いると $$({\alpha }^2-5{)}^2=52(\alpha +1{)}^2$$ である。よって $\alpha$ は $(x^2-5{)}^2-52(x+1{)}^2=0$ を満たす。左辺を展開すると $$x^4-10x^2+25-52x^2-104x-52=x^4-62x^2-104x-27$$ である。したがって求める多項式として $f(x)=x^4-62x^2-104x-27$ が取れる。

(3)

8つの数を $$x=\epsilon A+\delta U+\eta V$$ と書く。ただし $\epsilon ,\delta ,\eta \in \{1,-1\}$ である。$C=\delta U+\eta V$ とおくと $$C^2=U^2+V^2+2\delta \eta UV=18+2\delta \eta A$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2-5}& {\displaystyle =(\epsilon A+C{)}^2-5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A^2+C^2+2\epsilon AC-5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =26+2\delta \eta A+2\epsilon AC}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2A(A+\delta \eta +\epsilon C)}\end{array}$$である。

一方、$f(x)=0$ は $(x^2-5{)}^2=52(x+1{)}^2$ と同値である。上の形を見ると、$\delta \eta =\epsilon$ のとき$$A+\delta \eta +\epsilon C=A+\epsilon +\epsilon C=\epsilon (\epsilon A+C+1)=\epsilon (x+1)$$であるから $$x^2-5=2A\epsilon (x+1)$$ となり、確かに $f(x)=0$ を満たす。

逆に $\delta \eta =-\epsilon$ の4つは解でないことを確認する。$\epsilon =1$ のときは $C=\pm (U-V)$ であり、$$x^2-5=2A(A-1+C),x+1=A+C+1$$ である。$x^2-5=2A(x+1)$ とすると $A-1+C=A+C+1$ となり不可能である。また $x^2-5=-2A(x+1)$ とすると $C=-A$ が必要である。しかし $0<U-V<A$ であるから、$C=\pm (U-V)$ は $-A$ にならない。

$\epsilon =-1$ のときは $C=\pm (U+V)$ であり、$$x^2-5=2A(A+1-C),x+1=-A+C+1$$ である。$x^2-5=-2A(x+1)$ とすると $A+1-C=A-C-1$ となり不可能である。また $x^2-5=2A(x+1)$ とすると $C=A$ が必要であるが、$C=U+V$ は $A$ より大きく、$C=-(U+V)$ は負である。したがってこの場合も解でない。

よって解となる条件は $\delta \eta =\epsilon$ である。

したがって、8つのうち解となるものは $\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}},$ $\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}},$ $-\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}},$ $-\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}$ の4つである。

(1) (2)で得た関係を使い、4次式を $\sqrt{13}$ を係数にもつ2つの2次式へ因数分解する。それぞれ平方完成すると、根が $\sqrt{13}\pm (U+V)$ と $-\sqrt{13}\pm (U-V)$ と直接読めるため、8候補を個別代入せずに4根を確定できる。

$$A=\sqrt{13},U=\sqrt{9+2\sqrt{17}},V=\sqrt{9-2\sqrt{17}}$$ とおく。$U,V>0$ で$$U^2+V^2=18,UV=A$$である。

(1)

したがって$$(U+V{)}^2=U^2+V^2+2UV=18+2\sqrt{13}$$である。

(2)

$B=U+V$ とすると $B^2=18+2A$ であり、$\alpha =A+B$ だから$$(\alpha -A{)}^2=18+2A$$である。$A^2=13$ を用いて整理すると$${\alpha }^2-5=2A(\alpha +1)$$となる。両辺を2乗すれば$$({\alpha }^2-5{)}^2=52(\alpha +1{)}^2$$だから$$f(x)=x^4-62x^2-104x-27$$と取れる。

(3)

この4次式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)=}& {\displaystyle \{x^2-5-2A(x+1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \times \{x^2-5+2A(x+1)\}}\end{array}$$と因数分解できる。第1因子が0であることは$$(x-A{)}^2=18+2A=(U+V{)}^2$$と同値なので、その2根は$$A+U+V,A-U-V$$である。

また $U>V>0$ だから $(U-V{)}^2=18-2A$ である。第2因子が0であることは$$(x+A{)}^2=18-2A=(U-V{)}^2$$と同値なので、その2根は$$-A+U-V,-A-U+V$$である。

さらに $U>A>V>0$ から、この4根は相異なる。4次方程式はすでに4つの相異なる根をもつので、8候補の残り4つは解ではない。したがって解は$$\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}},}\\ {\displaystyle \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}},}\\ {\displaystyle -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}},}\\ {\displaystyle -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}}\end{array}$$の4つである。