(1) A=13,U=9+217,V=9−217 とおく。すると U2+V2=18,U2V2=81−68=13 であり、U,V>0 より UV=A である。さらに B=U+V とおくと B2=U2+V2+2UV=18+2A である。
いま α=A+B だから B=α−A であり (α−A)2=18+2A が成り立つ。展開して A2=13 を用いると α2−2Aα+13=18+2A すなわち α2−5=2A(α+1) である。両辺を2乗して (α2−5)2=4A2(α+1)2=52(α+1)2 を得る。したがって (α2−5)2−52(α+1)2=0 である。左辺を x の式として展開すると (x2−5)2−52(x+1)2=x4−62x2−104x−27 なので f(x)=x4−62x2−104x−27 である。
(2)
8つの数を x=εA+δU+ηV と書く。ただし ε,δ,η∈{1,−1} である。C=δU+ηV とおくと C2=U2+V2+2δηUV=18+2δηA である。よってx2−5=(εA+C)2−5=A2+C2+2εAC−5=26+2δηA+2εAC=2A(A+δη+εC)である。
f(x)=0 は (x2−5)2=52(x+1)2 であり、これは x2−5=±2A(x+1) を意味する。上で得た式から、δη=ε のときA+δη+εC=A+ε+εC=ε(εA+C+1)=ε(x+1)となるので x2−5=2Aε(x+1) が成り立つ。したがってこの4つはすべて解である。
一方、δη=−ε の場合は解でないことを確認する。ε=1 なら C=±(U−V) であり、x2−5=2A(A−1+C),x+1=A+C+1 である。x2−5=2A(x+1) は A−1+C=A+C+1 を要求するので不可能である。x2−5=−2A(x+1) は C=−A を要求するが、0<U−V<A より C=±(U−V) ではこれは起こらない。
また ε=−1 なら C=±(U+V) であり、x2−5=2A(A+1−C),x+1=−A+C+1 である。x2−5=−2A(x+1) は A+1−C=A−C−1 を要求するので不可能である。x2−5=2A(x+1) は C=A を要求するが、U+V>A であり −(U+V)<0 なので不可能である。よって残り4つは解でない。
したがって解となる4つは 13+9+217+9−217, 13−9+217−9−217, −13+9+217−9−217, −13−9+217+9−217 である。
(3)
まず U2=9+217>13=A2 であるから U>A である。また V2=9−217<13=A2 であり、V>0 だから A>V である。よって U>A>V>0 である。
(2) で得た4解を x1=A+U+V,x2=−A+U−V,x3=A−U−V,x4=−A−U+V とおく。明らかに x1 が最大である。さらに x2−x3=(−A+U−V)−(A−U−V)=2(U−A)>0 であり、x3−x4=(A−U−V)−(−A−U+V)=2(A−V)>0 である。したがって大きい順に 13+9+217+9−217, −13+9+217−9−217, 13−9+217−9−217, −13−9+217+9−217 である。
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