名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

点 $R$ を $R=(x,y)$ とおく。$R$ は円周 $x^2+y^2=1$ 上で $y>d$ にあるから $$d<y\leqq 1,x^2=1-y^2$$ である。

直線 $OR$ 上の点は $$\lambda R=(\lambda x,\lambda y)$$ と表せる。これが直線 $y=d$ 上にあるとき $\lambda y=d$ であるから $$\lambda ={\displaystyle \frac{d}{y}}$$ である。したがって $$S=({\displaystyle \frac{dx}{y}},d)$$ である。また、点 $R$ から水平線 $y=d$ へ下ろした垂線の足は $T=(x,d)$ である。

よって $$ST=\mid x-{\displaystyle \frac{dx}{y}}\mid =\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }(1-{\displaystyle \frac{d}{y}})$$ である。$y>d>0$ なので括弧内は正である。したがって $$S{T}^2=(1-y^2){(1-{\displaystyle \frac{d}{y}})}^2$$ である。 $$F(y)=(1-y^2){(1-{\displaystyle \frac{d}{y}})}^2(d<y\leqq 1)$$ とおく。整理して微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(y)=-{\displaystyle \frac{2(y-d)(y^3-d)}{y^3}}$$ である。区間 $d<y\leqq 1$ では $y-d>0$, $y^3>0$ である。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(y)$ の符号は $-(y^3-d)$ の符号で決まる。 $0<d<1$ なので $$d<\sqrt[3]{d}<1$$ である。よって $F(y)$ は $$d<y<\sqrt[3]{d}$$ で増加し、$$\sqrt[3]{d}<y<1$$ で減少する。したがって最大は $$y=\sqrt[3]{d}$$ のときに生じる。

このとき$$ST=\sqrt{1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}(1-{\displaystyle \frac{d}{d^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}})=\sqrt{1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}(1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$である。ゆえに最大値は $(1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$ である。

座標から $ST$ を出すところまでは同じだが、正の関数 $ST$ を対数微分する。積の微分を展開せず、最大条件 $y^3=d$ を短く導く。

点 $R=(x,y)$ とすると$$S=({\displaystyle \frac{dx}{y}},d),T=(x,d),$$したがって$$ST=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }(1-{\displaystyle \frac{d}{y}})=\sqrt{1-y^2}{\displaystyle \frac{y-d}{y}}(d<y<1)\mathrm{.}$$$H(y)=ST$ とおく。区間内部では $H(y)>0$ なので、対数微分すると$${\displaystyle \frac{H^{\mathrm{\prime }}(y)}{H(y)}}=-{\displaystyle \frac{y}{1-y^2}}+{\displaystyle \frac{1}{y-d}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}\mathrm{.}$$右辺を通分すると$${\displaystyle \frac{H^{\mathrm{\prime }}(y)}{H(y)}}={\displaystyle \frac{d-y^3}{y(1-y^2)(y-d)}}\mathrm{.}$$分母は正だから、$H^{\mathrm{\prime }}(y)$ は $y^3<d$ で正、$y^3>d$ で負である。よって最大は$$y=\sqrt[3]{d}$$のときに生じる。

この値を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S{T}_{\max }}& {\displaystyle =\sqrt{1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}(1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-d^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$