名古屋大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
与えられた式から $$x={\displaystyle \frac{b}{a-\cos \theta }}$$ である。したがって $$a-\cos \theta ={\displaystyle \frac{b}{x}}$$ であり、$$\cos \theta =a-{\displaystyle \frac{b}{x}}$$ である。また $$y={\displaystyle \frac{\sin \theta }{a-\cos \theta }}={\displaystyle \frac{x}{b}}\sin \theta$$ だから $$\sin \theta ={\displaystyle \frac{by}{x}}$$ である。

これらを $${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$ に代入すると $${(a-{\displaystyle \frac{b}{x}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{by}{x}}\right)}^2=1$$ である。両辺に $x^2$ を掛けると $$a^2{x}^2-2abx+b^2+b^2{y}^2=x^2$$ である。$a^2-b^2=1$、すなわち $a^2-1=b^2$ を用いると $$b^2{x}^2-2abx+b^2+b^2{y}^2=0$$ となる。$b>0$ なので $b^2$ で割って $$x^2+y^2-{\displaystyle \frac{2a}{b}}x+1=0$$ である。平方完成して $${(x-{\displaystyle \frac{a}{b}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{b^2}}$$ を得る。

また $0\leqq \theta \leqq \pi$ では $\sin \theta \geqq 0$ であり、$a-\cos \theta >0$ だから $y\geqq 0$ である。よって曲線 $C$ は、中心 $(a\mathrm{/}b,0)$、半径 $1\mathrm{/}b$ の円の上半分である。

(2)
(1)の円の上半分で $y$ 座標が最大となるのは、円の最上点である。したがって $P({\displaystyle \frac{a}{b}},{\displaystyle \frac{1}{b}})$ である。

(3)
円の中心を $$C_0=({\displaystyle \frac{a}{b}},0)$$ とする。原点 $O$ を通る接線の接点を $A(x_A,y_A)$ とする。接線 $OA$ は半径 $C_{0}A$ と直交するので $$(x_A-{\displaystyle \frac{a}{b}},y_A)\cdot (x_A,y_A)=0$$ である。すなわち
\begin{equation*}
x_A^2+y_A^2-\dfrac ab x_A=0 　　(1)
\end{equation*}
である。

一方、$A$ は円上にあるので
\begin{equation*}
x_A^2+y_A^2-\dfrac{2a}{b}x_A+1=0 　　(2)
\end{equation*}
である。(2)から(1)を引くと $$-{\displaystyle \frac{a}{b}}{x}_A+1=0$$ だから $$x_A={\displaystyle \frac{b}{a}}$$ である。これを(1)に代入すると $${\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}+y_A^2-{\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}}=0$$ すなわち $$y_A^2=1-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}$$ である。上半分なので $y_A>0$ であり、$A({\displaystyle \frac{b}{a}},{\displaystyle \frac{1}{a}})$ である。

(4)
点 $B$ は $(x_A,0)$ だから、三角形 $OAB$ の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_A{y}_A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{b}{2a^2}}$$ である。$a^2-b^2=1$ より $b^2=a^2-1$ である。面積は正なので、面積の2乗を最大にすればよい。 $${\left({\displaystyle \frac{b}{2a^2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{a^2-1}{4a^4}}$$ である。ここで $u=a^2$ とおくと、$a>1$ より $u>1$ であり、最大化すべき式は ${\displaystyle \frac{u-1}{4u^2}}$ である。定数 ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ を除き $$g(u)={\displaystyle \frac{u-1}{u^2}}$$ とおくと $$g^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{u^2-2u(u-1)}{u^4}}={\displaystyle \frac{2-u}{u^3}}$$ である。したがって $u=2$ で最大となる。

よって $a^2=2,b^2=1$ であり、$a>1,b>0$ から $a=\sqrt{2},b=1$ である。このとき $A({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$ であり、面積は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

円へ直した後の幾何解法とは別に、媒介変数表示を微分する。接線が原点を通る条件を行列式 $x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=0$ で表すと、接点の媒介変数が直ちに決まる。

(1) $$\cos \theta =a-{\displaystyle \frac{b}{x}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{by}{x}}$$を $${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$ へ代入すると$${(x-{\displaystyle \frac{a}{b}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{b^2}}\mathrm{.}$$$0\leqq \theta \leqq \pi$ なので、これは上半円である。

(2)

円の最上点から$$P({\displaystyle \frac{a}{b}},{\displaystyle \frac{1}{b}})$$である。

(3)

$D=a-\cos \theta$ とおくと$$x={\displaystyle \frac{b}{D}},y={\displaystyle \frac{\sin \theta }{D}}\mathrm{.}$$微分して$$x^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{b\sin \theta }{D^2}},y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{a\cos \theta -1}{D^2}}\mathrm{.}$$接線が原点を通るための条件は、位置ベクトルと接線方向が平行であること、すなわち$$x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=0$$である。左辺を整理すると$$x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{b\cos \theta }{D^2}}\mathrm{.}$$したがって $\cos \theta =0$、よって $\theta =\pi \mathrm{/}2$ であり、$$A({\displaystyle \frac{b}{a}},{\displaystyle \frac{1}{a}})$$を得る。

(4) $$[OAB]={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_A{y}_A={\displaystyle \frac{b}{2a^2}}\mathrm{.}$$$b^2=a^2-1$ を使い、$u=a^2>1$ とおくと$$[OAB{]}^2={\displaystyle \frac{u-1}{4u^2}}\mathrm{.}$$微分すれば最大は $u=2$ で生じる。したがって$$a=\sqrt{2},b=1,A({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),[OAB{]}_{\max }={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$