名古屋大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

点 $C(0,0,1)$ と点 $P(x_1,y_1,z_1)$ を通る直線は $$(X,Y,Z)=(0,0,1)+\lambda (x_1,y_1,z_1-1)$$ と表される。$Q$ はこの直線と $xy$ 平面の交点なので、$Z=0$ とおく。すると $1+\lambda (z_1-1)=0$ より $$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{1-z_1}}$$ である。したがって $$u={\displaystyle \frac{x_1}{1-z_1}},v={\displaystyle \frac{y_1}{1-z_1}}$$ である。

(2)

任意の点 $Q(u,v,0)$ を取る。点 $C$ から $Q$ へ向かうベクトルは $(u,v,-1)$ であり、その長さは $\sqrt{u^2+v^2+1}$ である。そこで $$P=(0,0,1)+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+1}}}(u,v,-1)$$ と定める。

このとき $CP=1$ なので $P$ は球面 $S$ 上にある。また $P$ の $z$ 座標は $1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+1}}}$ であり、これは1より小さい。さらに、$C,P,Q$ は同一直線上にあるので、(1)の対応でこの $P$ から得られる点はもとの $Q(u,v,0)$ である。

したがって、$P$ が $S$ 上の $z<1$ の部分を動くとき、$Q$ は $xy$ 平面全体を動く。

(3)

(2) の表示を用いると、$P$ の $x$ 座標は $$x_1={\displaystyle \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2+1}}}$$ である。これが $a$ に等しいので、$${\displaystyle \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2+1}}}=a$$ である。$0<a<1$ で分母は正だから、特に $u>0$ である。両辺を2乗して $u^2=a^2(u^2+v^2+1)$ を得る。整理すると $(1-a^2)u^2-a^2{v}^2=a^2$ である。

したがって、点 $Q$ が描く図形は $$(1-a^2)u^2-a^2{v}^2=a^2,u>0$$ で表される双曲線の右側の枝である。

先に平面上の任意の点$Q(u,v,0)$を固定し、直線$CQ$と球面の下半分との交点を求める。この逆表示により(2)の全射性と(3)の軌跡を同じ式から処理する。

(1)

直線$CP$を$$(X,Y,Z)=(0,0,1)+\lambda (x_1,y_1,z_1-1)$$と表す。$Z=0$から$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{1-z_1}}$であるから$$u={\displaystyle \frac{x_1}{1-z_1}},v={\displaystyle \frac{y_1}{1-z_1}}\mathrm{.}$$(2)

任意の$Q(u,v,0)$を固定する。直線$CQ$上の下向きの点を$$P=(0,0,1)+\lambda (u,v,-1)(\lambda >0)$$とおく。球面条件$CP=1$は$${\lambda }^2(u^2+v^2+1)=1$$なので$$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+1}}}\mathrm{.}$$この$P$は$z=1-\lambda <1$を満たし、(1)によって再び$Q$へ写る。
したがって$Q$は$xy$平面全体を動く。

(3)

上の逆表示から$$x_1={\displaystyle \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2+1}}}\mathrm{.}$$これが$a$に等しい。$0<a<1$より$u>0$であり、両辺を2乗して$$(1-a^2)u^2-a^2{v}^2=a^2$$を得る。したがって軌跡はこの双曲線の右側の枝である。