名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式理系数学 第4問(a)

半径1の円$C$の中心を$O$とする。半径$2a$の円
$C_3$の中心を対称軸上の$$D=(0,1-2a)$$に置く。半径$a$の2円は合同で、$O,D$を中心とする2円の共通弦の
両端に中心をもつ。したがって、その中心を$$A=(a,y),B=(-a,y)$$と置ける。

$C_1$と$C_3$は外接するから$AD=3a$である。よって$$a^2+\{y-(1-2a){\}}^2=9a^2\mathrm{.}$$$A$は$D$より下にあるので$$y=1-2a-2\sqrt{2}a=1-(2+2\sqrt{2})a\mathrm{.}$$また$C_1$は$C$に内接するから$OA=1-a$であり$$a^2+y^2=(1-a{)}^2\mathrm{.}$$上の$y$を代入すると$$a^2+\{1-(2+2\sqrt{2})a{\}}^2=(1-a{)}^2\mathrm{.}$$整理して$$2a\{(6+4\sqrt{2})a-(1+2\sqrt{2})\}=0.$$$a>0$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+2\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{5}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-5}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$この値は$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすため、半径$2a$の円も大円の内部に収まり、
上で用いた配置条件と一致する。

半径$a$の2円の中心を結ぶ線分の中点を取り、半径$2a$の円の中心との距離をピタゴラスの定理で求める。大円の中心も同じ対称軸上にあることから、中心間距離を1本の式にする。

大円の中心を$O$、半径$a$の2円の中心を$A,B$、
半径$2a$の円の中心を$D$とする。$M$を$AB$の中点とする。$$AB=2a,AD=BD=3a$$なので$$AM=a,MD=\sqrt{(3a{)}^2-a^2}=2\sqrt{2}a\mathrm{.}$$$A,B$は、中心$O$、半径$1-a$の円と、中心$D$、半径$3a$の円との
2交点である。したがって共通弦$AB$は$OD$に垂直で、$O,M,D$は一直線上にある。$$OA=1-a,AM=a$$より$$OM=\sqrt{(1-a{)}^2-a^2}=\sqrt{1-2a}\mathrm{.}$$また$OD=1-2a$であり、配置から$M,O,D$の順に並ぶので$$MD=MO+OD\mathrm{.}$$したがって$$2\sqrt{2}a=\sqrt{1-2a}+1-2a\mathrm{.}$$これを解く。まず$$\sqrt{1-2a}=2(\sqrt{2}+1)a-1.$$両辺を2乗して整理すると$$2a\{(6+4\sqrt{2})a-(1+2\sqrt{2})\}=0.$$$a>0$より$$a={\displaystyle \frac{1+2\sqrt{2}}{6+4\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-5}{2}}\mathrm{.}$$この値は$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たし、平方根を外す前の式にも代入して成立する。