名古屋大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 条件 $x+2y=1$ から $$y={\displaystyle \frac{1-x}{2}}$$ である。したがって $$k=x^2+2y^2=x^2+2{\left({\displaystyle \frac{1-x}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となる。

問題の条件は $x\leqq 0$ または $x\geqq 1$ である。直線 $x+2y=1$ 上では、$x\le 0$ のとき $y\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}>0$、$x\ge 1$ のとき $y\le 0$ であり、許される範囲は $x\le 0\text{または}x\ge 1$ である。

二次関数 ${\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の軸は $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ で、これは許される範囲に入らない。よって $x\le 0$ では端 $x=0$ で最小となり、$k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。一方、$x\ge 1$ では端 $x=1$ で最小となり、$k=1$ である。したがって $(x,y)=(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ のとき最小値 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ をとる。

(2) 不等式を $y$ について書くと $$y\le {\displaystyle \frac{1-x}{2}},y\le 4x+1,y\ge {\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。この3直線で囲まれる三角形の頂点は$$(-{\displaystyle \frac{3}{14}},{\displaystyle \frac{1}{7}}),({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{8}}),(-{\displaystyle \frac{1}{9}},{\displaystyle \frac{5}{9}})$$である。 $k=x^2+2y^2$ は平面全体では原点でのみ最小となるが、原点はこの三角形領域に含まれない。したがって最小値は境界上で調べればよい。

境界 $$y={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ 上では $$k=x^2+2{({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。これは $x=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ で最小となり、そのとき$$\begin{gathered} y={\displaystyle \frac{1}{6}}, \\ qquadk={(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^2+2{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{12}} \end{gathered}$$である。この点は該当する辺の上にある。

残りの2辺では、最小点を調べても ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ より小さくならない。実際、$$y={\displaystyle \frac{1-x}{2}}\text{ 上では }k={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、この辺の範囲での最小値は端 $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ で ${\displaystyle \frac{11}{32}}$ である。また $$y=4x+1\text{ 上では }k=33x^2+16x+2$$ であり、この辺の範囲での最小値は端 $x=-{\displaystyle \frac{3}{14}}$ で ${\displaystyle \frac{17}{196}}$ である。いずれも ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ 以上である。

よって $$(x,y)=(-{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}})$$ のとき、求める最小値は ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ である。

(3) $xy>0$ より、$x$ と $y$ は同符号であり、$${\displaystyle \frac{x}{y}}>0,{\displaystyle \frac{2y}{x}}>0$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{k}{l}}={\displaystyle \frac{x^2+2y^2}{xy}}={\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{2y}{x}}$$ と変形できる。

相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{2y}{x}}\ge 2\sqrt{{\displaystyle \frac{x}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{2y}{x}}}=2\sqrt{2}$$である。等号は $${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{2y}{x}}$$ すなわち $x^2=2y^2$ のとき成立する。これは $xy>0$ のもとで実現できるので、最小値は $2\sqrt{2}$ である。

二次式を平方完成して、制約直線・三角形の各辺における最短点を調べる。(3) は比 $t=x\mathrm{/}y>0$ を導入すると一変数の最小化になる。

(1)
$y=(1-x)\mathrm{/}2$ より$$k={\displaystyle \frac{3}{2}}{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$許される範囲 $x\leqq 0$ または $x\geqq 1$ では $x=0$ のときが最小で$$(x,y)=(0,{\displaystyle \frac{1}{2}}),k_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
3辺のうち $y=x\mathrm{/}2+1\mathrm{/}4$ 上では$$k={\displaystyle \frac{3}{2}}{(x+{\displaystyle \frac{1}{6}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{.}$$$x=-1\mathrm{/}6$ は実際に辺上にある。ほかの2辺を同様に平方完成すると、この値より小さくならない。よって$$(x,y)=(-{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}}),k_{\min }={\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{.}$$(3)
$t=x\mathrm{/}y>0$ とおくと$${\displaystyle \frac{k}{l}}=t+{\displaystyle \frac{2}{t}}\mathrm{.}$$$$t+{\displaystyle \frac{2}{t}}-2\sqrt{2}={\displaystyle \frac{(t-\sqrt{2}{)}^2}{t}}\geqq 0.$$したがって最小値は $2\sqrt{2}$ であり、$x\mathrm{/}y=\sqrt{2}$ のときに成立する。