名古屋大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $z\mathrm{\ne }0$ であり、$n$ は整数である。正の整数乗では明らかに $$\overline{z^n}={\bar{z}}^n$$ であり、負の整数乗についても$$\overline{z^{-m}}=\stackrel{‾}{{\displaystyle \frac{1}{z^m}}}={\displaystyle \frac{1}{\overline{z^m}}}={\displaystyle \frac{1}{{\bar{z}}^m}}={\bar{z}}^{-m}$$が成り立つ。したがってすべての整数 $n$ で $$\overline{z^n}={\bar{z}}^n$$ である。

よって$$\overline{z^n+{\stackrel{‾}{z}}^n}={\bar{z}}^n+z^n=z^n+{\bar{z}}^n$$だから、$z^n+{\bar{z}}^n$ は実数である。また、$$\overline{z^n-{\stackrel{‾}{z}}^n}={\bar{z}}^n-z^n=-(z^n-{\bar{z}}^n)$$であるから、$z^n-{\bar{z}}^n$ は純虚数である。すなわち$$z^n+{\bar{z}}^n\text{ は実数},z^n-{\bar{z}}^n\text{ は純虚数}$$である。

(2)
(a) ${\theta }_1+{\theta }_2=\pi$ より ${\theta }_2=\pi -{\theta }_1$ である。また $$\beta =-p+qi=-(p-qi)=-\bar{\alpha }$$ である。

したがって $$\cos n{\theta }_2=\cos (n\pi -n{\theta }_1)=(-1{)}^n\cos n{\theta }_1$$ であり、$$\sin n{\theta }_2=\sin (n\pi -n{\theta }_1)=(-1{)}^{n+1}\sin n{\theta }_1$$ である。また $${\beta }^n=(-\bar{\alpha }{)}^n=(-1{)}^n{\bar{\alpha }}^n$$ である。これらを用いると$$A_n={\alpha }^n\cos n{\theta }_1+{\beta }^n\cos n{\theta }_2={\alpha }^n\cos n{\theta }_1+{\bar{\alpha }}^n\cos n{\theta }_1$$だから $$A_n=({\alpha }^n+{\bar{\alpha }}^n)\cos n{\theta }_1$$ である。(1) より ${\alpha }^n+{\bar{\alpha }}^n$ は実数であり、$\cos n{\theta }_1$ も実数なので、$A_n$ は実数である。

同様に$$B_n={\alpha }^n\sin n{\theta }_1+{\beta }^n\sin n{\theta }_2={\alpha }^n\sin n{\theta }_1-{\bar{\alpha }}^n\sin n{\theta }_1$$だから $$B_n=({\alpha }^n-{\bar{\alpha }}^n)\sin n{\theta }_1$$ である。(1) より ${\alpha }^n-{\bar{\alpha }}^n$ は純虚数であり、$\sin n{\theta }_1$ は実数なので、$B_n$ は純虚数である。

よって $A_n\text{ は実数},B_n\text{ は純虚数}$ である。

(b) $$z_1=\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1,z_2=\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2$$ とおく。${\theta }_2=\pi -{\theta }_1$ だから $$z_2=-\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1=-\overline{z_1}$$ である。また $\beta =-\bar{\alpha }$ より $$\beta z_2=(-\bar{\alpha })(-\overline{z_1})=\overline{\alpha z_1}$$ となる。

したがって$$C_n=(\alpha z_1{)}^n+(\beta z_2{)}^n=(\alpha z_1{)}^n+{\overline{(\alpha z_1)}}^n$$である。(1) を $z=\alpha z_1$ に適用すれば、この和は実数である。よって $C_n$ は実数である である。

極形式で共役を表し、和が余弦、差が正弦に比例することを使う。(2)では $\beta =-\bar{\alpha }$ と $z_2=-\overline{z_1}$ の二つの符号が打ち消し合う。

(1)
$z=r{e}^{i\phi }$ とおく。任意の整数 $n$ に対し$$z^n+{\bar{z}}^n=2r^n\cos n\phi$$は実数であり$$z^n-{\bar{z}}^n=2i{r}^n\sin n\phi$$は0または純虚数である。

(2)
${\theta }_2=\pi -{\theta }_1$, $\beta =-\bar{\alpha }$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_n}& {\displaystyle =({\alpha }^n+{\bar{\alpha }}^n)\cos n{\theta }_1,}\\ {\displaystyle B_n}& {\displaystyle =({\alpha }^n-{\bar{\alpha }}^n)\sin n{\theta }_1\mathrm{.}}\end{array}$$前者は実数、後者は0または純虚数である。また$$z_2=-\overline{z_1},\beta z_2=\overline{\alpha z_1}\mathrm{.}$$したがって$$C_n=(\alpha z_1{)}^n+{\overline{(\alpha z_1)}}^n$$は実数である。