名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

$A=(4,2)$ が直線 $l$ に関して $x$ 軸上の点 $A^{\mathrm{\prime }}=(t,0)$ に移るとする。条件より $0\leqq t\leqq 6$ である。$l$ は線分 $A{A}^{\mathrm{\prime }}$ の垂直二等分線だから，$(p,q)$ が $l$ 上にあることは $$(p-4{)}^2+(q-2{)}^2=(p-t{)}^2+q^2$$ と同値である。整理すると $t^2-2pt+8p+4q-20=0$ となる。これが(1)の答である。

(2)

$f(t)=t^2-2pt+8p+4q-20$ とおく。$(p,q)$ を通る異なる2本のピッタリ直線が存在するためには，この二次方程式が $[0,6]$ に異なる2つの実根をもてばよい。上に開く放物線なので，その条件は $$0\leqq p\leqq 6,f(0)\geqq 0,f(6)\geqq 0,\text{判別式}>0$$ である。実際，軸 $t=p$ が区間内にあり，両端で0以上，かつ最小値が0より小さければ，2つの交点は区間内に入る。

各条件を計算すると $$f(0)=8p+4q-20\geqq 0⟺q\geqq 5-2p,$$ $$f(6)=36-12p+8p+4q-20\geqq 0⟺q\geqq p-4,$$ また判別式より $(-2p{)}^2-4(8p+4q-20)>0$ すなわち $$q<{\displaystyle \frac{(p-4{)}^2}{4}}+1$$ である。したがって求める領域は$$0\leqq p\leqq 6,q\geqq 5-2p,q\geqq p-4,q<{\displaystyle \frac{(p-4{)}^2}{4}}+1$$である。

(3)

2つの根を $t_1,t_2$ とする。根 $t_i$ に対応するピッタリ直線は，垂直二等分線の式を整理すると$$y={\displaystyle \frac{t_i-4}{2}}x+{\displaystyle \frac{20-t_i^2}{4}}$$となる。したがって，$t_i=4$ の場合も含め，その傾きは ${\displaystyle \frac{t_i-4}{2}}$ である。2本のピッタリ直線が直交するためには $${\displaystyle \frac{t_1-4}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{t_2-4}{2}}=-1$$ すなわち $(t_1-4)(t_2-4)=-4$ であればよい。根と係数の関係から $$t_1+t_2=2p,t_1{t}_2=8p+4q-20$$ であるから $$(t_1-4)(t_2-4)=t_1{t}_2-4(t_1+t_2)+16=4q-4.$$ よって $4q-4=-4$ となり，$q=0$ である。

あとは(2)の領域に $q=0$ を代入する。条件は $$0\geqq 5-2p,0\geqq p-4,0<{\displaystyle \frac{(p-4{)}^2}{4}}+1$$ であり，最後の不等式は常に成り立つ。したがって ${\displaystyle \frac{5}{2}}\leqq p\leqq 4$ である。よって求める点 $(p,q)$ の集合は $${\displaystyle \frac{5}{2}}\leqq p\leqq 4,q=0$$ である。端点でも2根はそれぞれ $(0,5)$，$(2,6)$ のように異なる2点になるので，端点を含めてよい。