名古屋大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $\mathrm{\angle }C=C$，$\mathrm{\angle }A=A$ とおく。四角形 $ABCD$ は円に内接するので，対角の和は $A+C=\pi$ である。したがって $$\cos A=\cos (\pi -C)=-\cos C$$ である。

対角線 $BD$ に注目する。三角形 $BCD$ で余弦定理を用いると $$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2\cdot BC\cdot CD\cos C=25+t^2-10t\cos C$$ である。一方，三角形 $BAD$ で余弦定理を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B{D}^2}& {\displaystyle =A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cos A}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16+(3-t{)}^2-2\cdot 4(3-t)(-\cos C)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16+(3-t{)}^2+8(3-t)\cos C}\end{array}$$である。

これらを等しくして $$25+t^2-10t\cos C=16+(3-t{)}^2+8(3-t)\cos C$$ を得る。右辺の定数部分を整理すると $16+(3-t{)}^2=25-6t+t^2$ だから，$$25+t^2-10t\cos C=25-6t+t^2+8(3-t)\cos C$$ である。よって $6t=(24+2t)\cos C$ となり，$$\cos C={\displaystyle \frac{3t}{t+12}}$$ である。

(2)

四角形の面積 $S$ は，三角形 $BCD$ と三角形 $BAD$ の面積の和である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot BC\cdot CD\sin C+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot AD\sin A}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5t\sin C+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4(3-t)\sin C}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+12)\sin C}\end{array}$$である。ここで $0<t<3$ より $0<C<\pi$ なので $\sin C>0$ であり，$$\sin C=\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{3t}{t+12}}\right)}^2}$$ と書ける。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+12)\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{3t}{t+12}}\right)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(t+12{)}^2-9t^2}}\end{array}$$である。

(3)

(2) より $$S^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\{(t+12{)}^2-9t^2\}$$ である。整理すると $S^2=-2t^2+6t+36$ である。$S>0$ なので，$S$ を最大にすることは $S^2$ を最大にすることと同じである。

平方完成すると $$S^2=-2{(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{81}{2}}$$ である。$0<t<3$ の範囲に $$t={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ は含まれるので，最大は $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ のときである。このとき $$S^2={\displaystyle \frac{81}{2}}$$ だから $$S_{\max }={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}}$$ である。

円に内接する四角形の面積について、半周長を使う公式を余弦定理と面積の和から導いて適用する。4辺の和が一定なので、平方完成だけで最大値まで求められる。

(1)

$A+C=\pi$ である。共有対角線 $BD$ に余弦定理を用いて$$25+t^2-10t\cos C=16+(3-t{)}^2+8(3-t)\cos C\mathrm{.}$$よって$$\cos C={\displaystyle \frac{3t}{t+12}}\mathrm{.}$$(2)

内接四角形の4辺を $u,v,w,z$、半周長を $s$ とする。対角の和が $\pi$ であることと、2つの三角形の余弦定理を用いると$$S^2=(s-u)(s-v)(s-w)(s-z)$$が得られる。本問では$$(u,v,w,z)=(4,5,t,3-t),s=6$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^2}& {\displaystyle =(6-4)(6-5)(6-t)\{6-(3-t)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(6-t)(3+t)\mathrm{.}}\end{array}$$$S>0$ より$$S=\sqrt{2(6-t)(3+t)}\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^2}& {\displaystyle =2(6-t)(3+t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2t^2+6t+36}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2{(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{81}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<t<3$ に $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ は含まれる。したがって$$t={\displaystyle \frac{3}{2}},S_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{81}{2}}}={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$