名古屋大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

接線が $y=3x-16$ であるから、$x=3$ で $f(3)=3\cdot 3-16=-7$ かつ $f^{\mathrm{\prime }}(3)=3$ である。したがって $f(x)-(3x-16)$ は $x=3$ を重解にもつ。よって $$f(x)-(3x-16)=(x-3{)}^2(x-r)$$ とおける。さらに、曲線と接線が $x<3$ の範囲で交わるので、もう1つの交点は $x=r$ であり、$r<3$ である。

右辺を展開すると $$(x-3{)}^2(x-r)=x^3-(r+6)x^2+(6r+9)x-9r$$ である。したがって $$f(x)=x^3-(r+6)x^2+(6r+12)x-9r-16$$ であり、$$a=-r-6,b=6r+12,c=-9r-16$$ である。

次に、3つの根が正三角形を作る条件を用いる。一般に、モニック三次式 $x^3+a{x}^2+bx+c$ の根の重心は $-{\displaystyle \frac{a}{3}}$ である。$$x=X-{\displaystyle \frac{a}{3}}$$ と平行移動して重心を原点に移すと、$X^2$ の項は消え、$X$ の係数は $b-{\displaystyle \frac{a^2}{3}}$ となる。3つの根が正三角形を作るとき、重心を原点に移した3つの根は $\rho ,\rho \omega ,\rho {\omega }^2$ の形に書けるので、平行移動後の三次式には $X$ の項がない。したがって $$b={\displaystyle \frac{a^2}{3}}$$ である。

ここに $a=-r-6$, $b=6r+12$ を代入すると $$6r+12={\displaystyle \frac{(r+6{)}^2}{3}}$$ である。両辺を整理して $r(r-6)=0$ を得る。$r<3$ だから $r=0$ である。よって $$a=-6,b=12,c=-16$$ である。

(2)

(1) より $$f(x)=x^3-6x^2+12x-16=(x-4)(x^2-2x+4)$$ である。したがって3つの根は $4,1+\sqrt{3}i,1-\sqrt{3}i$ である。よって三角形 $ABC$ の頂点は $(4,0),(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$ である。 $z=x+yi$ とおくと、$2\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=d(z+\bar{z})$ は $2(x^2+y^2)=2dx$ すなわち $x^2+y^2=dx$ である。三角形 $ABC$ 上では $x>0$ なので、共有点をもつための $d$ は $$d={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{x}}$$ が三角形上の点で取り得る値である。

三角形の内部および周上の点は $$1\leqq x\leqq 4,\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{4-x}{\sqrt{3}}}$$ を満たす。したがって $$d=x+{\displaystyle \frac{y^2}{x}}\geqq x\geqq 1$$ である。一方、$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{4-x}{\sqrt{3}}}$$ より $$d\leqq x+{\displaystyle \frac{(4-x{)}^2}{3x}}$$ である。右辺について $x+{\displaystyle \frac{(4-x{)}^2}{3x}}\leqq 4$ は $(x-1)(x-4)\leqq 0$ と同値であり、$1\leqq x\leqq 4$ で成り立つ。よって $1\leqq d\leqq 4$ である。

実際、$d=1$ は点 $(1,0)$ で、$d=4$ は頂点 $(4,0)$ などで達成される。したがって求める範囲は $1\leqq d\leqq 4$ である。

接線条件と正三角形条件から三角形の3頂点を決める。(2)では各$d$に対する図形を円として眺め、$d={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{x}}$の必要範囲を評価する。十分性は三角形の縦の辺だけで全範囲が実現することから示す。

(1)

接線との共有点を用いると$$f(x)-(3x-16)=(x-3{)}^2(x-r),r<3.$$係数を比較して$$a=-r-6,b=6r+12,c=-9r-16.$$3根の重心へ原点を移したとき、正三角形の3頂点は120度ずつ回転した配置になる。
したがって平行移動後の三次式の一次係数は0であり$$b={\displaystyle \frac{a^2}{3}}\mathrm{.}$$これを代入すると$r(r-6)=0$である。$r<3$より$r=0$だから$$(a,b,c)=(-6,12,-16)\mathrm{.}$$このとき$$f(x)=(x-4)(x^2-2x+4)$$で、3頂点は$$(4,0),(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$$となり、確かに正三角形である。

(2)

$z=x+yi$とすると、与えられた図形は$$x^2+y^2=dx$$である。三角形上では$x>0$なので$$d={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{x}}\mathrm{.}$$三角形の点は$$1\leqq x\leqq 4,\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{4-x}{\sqrt{3}}}$$を満たす。したがって$$1\leqq x+{\displaystyle \frac{y^2}{x}}\leqq x+{\displaystyle \frac{(4-x{)}^2}{3x}}\leqq 4.$$よって必要条件は$1\leqq d\leqq 4$である。

逆に辺$x=1$、$$-\sqrt{3}\leqq y\leqq \sqrt{3}$$だけを見ると$$d=1+y^2$$は1から4までの全値をとる。ゆえに十分性も成り立ち$$1\leqq d\leqq 4$$である。