名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

$A=(2,4)$ が直線 $l$ に関して $x$ 軸上の点 $A^{\mathrm{\prime }}=(t,0)$ に移るとする。このとき $l$ は線分 $A{A}^{\mathrm{\prime }}$ の垂直二等分線であるから，$(p,q)$ が $l$ 上にある条件は $$(p-2{)}^2+(q-4{)}^2=(p-t{)}^2+q^2$$ である。整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p^2-4p+4+q^2-8q+16}& {\displaystyle =p^2-2pt+t^2+q^2,}\\ {\displaystyle t^2-2pt+4p+8q-20}& {\displaystyle =0}\end{array}$$となる。よって(1)の答は $t^2-2pt+4p+8q-20=0$ である。

(2)

点 $(p,q)$ を通るピッタリ直線の本数は，この二次方程式の実数解 $t$ の個数に等しい。異なる2本の直線が存在するための条件は判別式が正であること，すなわち $(-2p{)}^2-4(4p+8q-20)>0$ である。これを整理すると $p^2-4p-8q+20>0$ であり，$$q<{\displaystyle \frac{p^2-4p+20}{8}}={\displaystyle \frac{(p-2{)}^2}{8}}+2$$ を得る。したがって求める領域は $$q<{\displaystyle \frac{(p-2{)}^2}{8}}+2$$ である。

(3)

二次方程式の2つの根を $t_1,t_2$ とする。根 $t_i$ に対応するピッタリ直線は，垂直二等分線の式を整理すると$$y={\displaystyle \frac{t_i-2}{4}}x+{\displaystyle \frac{20-t_i^2}{8}}$$となる。したがって，$t_i=2$ の場合も含め，その傾きは ${\displaystyle \frac{t_i-2}{4}}$ である。2本が直交するためには $${\displaystyle \frac{t_1-2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{t_2-2}{4}}=-1$$ であればよい。つまり $(t_1-2)(t_2-2)=-16$ である。根と係数の関係より $$t_1+t_2=2p,t_1{t}_2=4p+8q-20$$ なので $$(t_1-2)(t_2-2)=t_1{t}_2-2(t_1+t_2)+4=8q-16.$$ したがって $8q-16=-16$，すなわち $q=0$ である。このとき判別式は $4\{(p-2{)}^2+16\}>0$ で常に正だから，任意の $p$ について2本の直交するピッタリ直線が存在する。よって求める点 $(p,q)$ の集合は $q=0$ すなわち $x$ 軸全体である。