Evolton
方針
求める円の中心を ，半径を とおく。直線 に接する条件は であり，中心が直線の左側か右側かで一度場合分けする必要がある。2つの既知円への外接条件は，中心間距離が半径の和に等しいことから2本の方程式になる。 の場合は2解が得られ， の場合は解の候補が条件に反するため除く。最後に得られた円が直線にも2つの円にも外接することを半径で確認する。
解答
求める円の中心を ，半径を とする。2つの既知円の中心と半径はそれぞれ である。求める円がこれらに外接するための条件は である。また直線 に接するので である。
まず とする。このとき であり，外接条件は となる。整理すると である。2式を引くと より を得る。これを2つ目の式へ代入すると すなわち である。したがって であり，それぞれ を得る。どちらも と を満たす。
次に とする。このとき であり，外接条件は となる。整理すると である。2式を引くと より である。これを2つ目の式へ代入すると となり， を得るが，対応する は であって に反する。したがってこの場合に解はない。
よって求める円は および である。実際，前者は半径 ，後者は半径 で，いずれも中心から直線 までの距離が半径に等しく，2つの既知円との中心間距離もそれぞれ半径の和になっている。
青・橙が与えられた2円、紫が求める円。2つの解を縮尺を変えて示した。
総評
外接条件そのものは標準的だが，直線 への接し方で と決め打ちしないことが採点上の注意点である。想定時間は15分前後，難易度は5，計算量は5程度。左側の場合から2つの円が出る一方，右側の場合は代数的な候補が に反するため消える。この排除を書かないと，半径を絶対値で扱った根拠が弱くなる。最後に得た2円が本当に外接であり，内接や交差ではないことを中心間距離で確認しておくと答案が締まる。