名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式理系数学 第4問(a)

(1)

単位円上の点$R(u,v)$における接線は$$ux+vy=1$$である。この接線が$P(x_0,y_0)$を通る条件は$$u{x}_0+v{y}_0=1.$$したがって2つの接点はいずれも直線$$\begin{array}{cccc}& x_{0}x+y_{0}y=1& & \text{(1)}\end{array}$$上にある。(1)は2接点を結ぶ弦の直線である。

その中点$Q$は，原点から(1)へ下ろした垂線の足である。(1)の法線ベクトルは$(x_0,y_0)$なので，ある実数$\lambda$を用いて$$Q=(\lambda x_0,\lambda y_0)$$と書ける。(1)へ代入すると$$\lambda (x_0^2+y_0^2)=1.$$よって$$Q(x_1,y_1)=({\displaystyle \frac{x_0}{x_0^2+y_0^2}},{\displaystyle \frac{y_0}{x_0^2+y_0^2}})\mathrm{.}$$したがって$$OQ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}={\displaystyle \frac{1}{OP}},$$ゆえに$$OP\cdot OQ=1.$$(2)

$Q=(x,y)$とおく。(1)の関係を逆にすると$$P=({\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}},{\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}}),(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)\mathrm{.}$$$P$が$x+y=2$上にある条件は$${\displaystyle \frac{x+y}{x^2+y^2}}=2.$$よって$$2(x^2+y^2)-x-y=0.$$平方完成すると$$\begin{array}{cccc}& {(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$逆に，(2)上の原点以外の点$Q$から上式で$P$を定めれば，$P$は$x+y=2$上にある。また，(2)の円は中心の原点からの距離と半径がともに$\sqrt{1\mathrm{/}8}$であるから$$0<OQ\leqq 2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{8}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<1.$$したがって$OP=1\mathrm{/}OQ>1$となり，$P$は円外の点である。ゆえに十分性も成り立つ。

よって軌跡は$${(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}$$で表される円から原点を除いたものである。

接触弦$RS$の中点$Q$は$OP$上にあり，$OP\cdot OQ=1$。

2接点を$R,S$とする。$OR=OS$かつ$PR=PS$なので，直線$OP$は弦$RS$の垂直二等分線であり，$O,Q,P$は一直線上にある。直角三角形$\mathrm{△}OPR$と$\mathrm{△}ORQ$の相似から$OP\cdot OQ=1$を得る。座標は$Q$が$P$方向にあることと距離の積から決める。

(1)

2接点を$R,S$とする。$$OR=OS=1,PR=PS$$であるから，$O$と$P$はいずれも線分$RS$の垂直二等分線上にある。したがって$O,Q,P$は一直線上にあり，$$OP\perp RS\mathrm{.}$$$\mathrm{\angle }ORP={90}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }OQR={90}^{\circ }$であり，さらに$O,Q,P$が一直線上なので$$\mathrm{\angle }POR=\mathrm{\angle }ROQ\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{△}OPR\sim \mathrm{△}ORQ\mathrm{.}$$対応する辺の比から$$OP:OR=OR:OQ\mathrm{.}$$$OR=1$より$$OP\cdot OQ=1.$$$Q$は$O$から$P$へ向かう半直線上にあるので$$\overrightarrow{OQ}=\lambda \overrightarrow{OP}(\lambda >0)$$と書ける。距離の積から$$\lambda O{P}^2=1.$$したがって$$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{x_0^2+y_0^2}}$$であり，$$Q=({\displaystyle \frac{x_0}{x_0^2+y_0^2}},{\displaystyle \frac{y_0}{x_0^2+y_0^2}})\mathrm{.}$$(2)

$Q=(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$とすると$$P=({\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}},{\displaystyle \frac{y}{x^2+y^2}})\mathrm{.}$$$P$が$x+y=2$上にある条件を代入すれば$$2(x^2+y^2)=x+y,$$すなわち$${(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$この円上では$${\displaystyle OQ\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<1}$$であるから，原点以外の各点は円外の点$P$へ逆に対応する。よって求める軌跡はこの円から原点を除いたものである。