名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $u=x-2,v=2x+3y-1$ とおく。このとき不等式は $u^2+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\leqq 4$ となる。したがって $uv$ 平面では $$-2\leqq u\leqq 2,-(4-u^2)\leqq v\leqq 4-u^2$$ で表される。概形は，上側が $v=4-u^2$，下側が $v=u^2-4$ の2つの放物線で囲まれた領域である。

面積を換算する。逆変換は $$x=u+2,y={\displaystyle \frac{v-2u-3}{3}}$$ である。$uv$ 平面で $u$ 方向に1だけ動くと $xy$ 平面では $(1,-2\mathrm{/}3)$ だけ動き，$v$ 方向に1だけ動くと $(0,1\mathrm{/}3)$ だけ動く。これらが作る平行四辺形の面積は$$\mid 1\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}-0\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{3}})\mid ={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。よって $xy$ 平面での面積は $uv$ 平面での面積の $1\mathrm{/}3$ 倍である。

したがって $D$ の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_{-2}^2\{(4-u^2)-(-(4-u^2))\}du}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_{-2}^{2}2(4-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{[4u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{-2}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{32}{3}}={\displaystyle \frac{64}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

逆変換から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x+y}& {\displaystyle =u+2+{\displaystyle \frac{v-2u-3}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{u+v+3}{3}}}\end{array}$$である。したがって $x+y$ の最大・最小は $u+v$ の最大・最小から求めればよい。

最大を求めるには，固定した $u$ に対して $v$ を最大にすればよいので，上側境界 $v=4-u^2$ を用いる。このとき $$u+v=u+4-u^2=-{(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{17}{4}}$$ であるから，最大値は $u=1\mathrm{/}2$ のとき $17\mathrm{/}4$ である。したがって $$x+y={\displaystyle \frac{17\mathrm{/}4+3}{3}}={\displaystyle \frac{29}{12}}$$ である。このとき $$u={\displaystyle \frac{1}{2}},v=4-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{15}{4}}$$ より $$(x,y)=({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{12}})$$ である。

最小を求めるには，下側境界 $v=-(4-u^2)=u^2-4$ を用いる。このとき $$u+v=u^2+u-4={(u+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{17}{4}}$$ であるから，最小値は $u=-1\mathrm{/}2$ のとき $-17\mathrm{/}4$ である。したがって $$x+y={\displaystyle \frac{-17\mathrm{/}4+3}{3}}=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$$ である。このとき $$u=-{\displaystyle \frac{1}{2}},v=-{\displaystyle \frac{15}{4}}$$ より $$(x,y)=({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{23}{12}})$$ である。

青が領域 $D$。破線は $x+y=\text{一定}$ の最大・最小位置での直線。

絶対値を直接外し、各 $x$ に対する $y$ の上端と下端を求める。(1)の面積は両境界の差を積分し、(2)は上端・下端へ $x+y$ を代入して、それぞれ平方完成する。座標変換を使わずに完結させる。

(1) $$M=4-(x-2{)}^2$$とおく。不等式が解をもつには $M\geqq 0$、すなわち $0\leqq x\leqq 4$ が必要である。この範囲で$$-M\leqq 2x+3y-1\leqq M$$だから$${\displaystyle \frac{x^2-6x+1}{3}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1+2x-x^2}{3}}\mathrm{.}$$よって $D$ はこの2つの放物線に挟まれた領域であり、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^4\{{\displaystyle \frac{1+2x-x^2}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2-6x+1}{3}}\}dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{\int }_0^4\{4-(x-2{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{64}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
固定した $x$ では、$x+y$ の最大は上側境界、最小は下側境界で生じる。上側では$$x+y={\displaystyle \frac{1+5x-x^2}{3}}={\displaystyle \frac{29}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2\mathrm{.}$$したがって最大値は ${\displaystyle \frac{29}{12}}$、その点は$$(x,y)=({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{12}})$$である。

下側では$$x+y={\displaystyle \frac{x^2-3x+1}{3}}=-{\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2\mathrm{.}$$したがって最小値は $-{\displaystyle \frac{5}{12}}$、その点は$$(x,y)=({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{23}{12}})$$である。