名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数文系数学 第3問(b)

(1)

袋 $B$ には5個中3個の赤玉がある。2個取り出すとき，1個目について赤玉である確率は $3\mathrm{/}5$，2個目についても，取り出す位置をあらかじめ決めて見れば赤玉である確率は $3\mathrm{/}5$ である。したがって赤玉の個数の期待値は $${\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$$ である。

(2)

袋 $B$ から2個取り出すとき，赤玉が1個である確率は$${\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_1{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_5{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$であり，赤玉が2個である確率は $${\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_5{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$$ である。

袋 $A$ から1個取り出すとき，赤玉が出る確率も白玉が出る確率も $1\mathrm{/}2$ である。3個のうち赤玉が2個になるのは，

袋 $A$ から赤玉が出て袋 $B$ から赤玉が1個出る場合，または，袋 $A$ から白玉が出て袋 $B$ から赤玉が2個出る場合である。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{9}{20}}$$である。

(3)

最初に袋 $A$ から赤玉を取り出した場合を考える。この確率は $1\mathrm{/}2$ である。袋 $A$ には赤1個，白2個が残るので，その袋からさらに2個取り出すときの赤玉の期待値は $$2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。一方，袋 $B$ から2個取り出すときの赤玉の期待値は(1)より $6\mathrm{/}5$ である。したがってこの場合は袋 $B$ を選ぶのがよく，最終的な赤玉の個数の期待値は $$1+{\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{11}{5}}$$ である。

次に，最初に袋 $A$ から白玉を取り出した場合を考える。この確率も $1\mathrm{/}2$ である。袋 $A$ には赤2個，白1個が残るので，その袋からさらに2個取り出すときの赤玉の期待値は $$2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。これは袋 $B$ の期待値 $6\mathrm{/}5$ より大きいので，この場合は袋 $A$ を選ぶ。最初に赤玉は出ていないから，最終的な赤玉の個数の期待値は ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。

以上より，できるだけ多くの赤玉を取り出すように選択したときの期待値は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{11}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{53}{30}}$$である。

最初の色を観察してから、追加2個の期待値が大きい袋を選ぶ。