名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(b)

(1)

黄と青をまとめて「赤以外」とする。赤を引く回数が$0,1,2,3$回の場合をそれぞれ計算すると$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle p_3(1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{4}{10}},}& {\displaystyle p_3(2)}& {\displaystyle =3\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{3}{10}},}\\ {\displaystyle p_3(3)}& {\displaystyle =3\cdot {\displaystyle \frac{1}{15}}={\displaystyle \frac{2}{10}},}& {\displaystyle p_3(4)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{1}{10}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p_3(1):p_3(2):p_3(3):p_3(4)=4:3:2:1.$$(2)

$N$回後の全体の玉数は$N+3$個である。次の操作後に赤玉が$m$個となる場合を直前の赤玉数で分けると$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle p_{N+1}(m)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m-1}{N+3}}{p}_N(m-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{N+3-m}{N+3}}{p}_N(m)\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$範囲外の確率は$0$とする。$$\begin{array}{cccc}& p_N(m)={\displaystyle \frac{2(N-m+2)}{(N+1)(N+2)}}(1\leqq m\leqq N+1)& & \text{(2)}\end{array}$$を数学的帰納法で示す。$N=1$では$$p_1(1)={\displaystyle \frac{2}{3}},p_1(2)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$なので(2)が成り立つ。

$N=k$で(2)が成り立つと仮定する。$2\leqq m\leqq k+1$について(1)へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{k+1}(m)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m-1}{k+3}}{\displaystyle \frac{2(k-m+3)}{(k+1)(k+2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{k+3-m}{k+3}}{\displaystyle \frac{2(k-m+2)}{(k+1)(k+2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(k+3-m)}{(k+2)(k+3)}}\mathrm{.}}\end{array}$$端点$m=1,k+2$でも，消える項を$0$とみなせば同じ式が成り立つ。これは$N=k+1$での(2)である。

以上より$$p_N(m)={\displaystyle \frac{2(N-m+2)}{(N+1)(N+2)}}(1\leqq m\leqq N+1)\mathrm{.}$$

初期に赤以外が2個あるため，確率は右下がりになる。

赤以外の2色を一つの群としてまとめる。$N$回中，赤を$k=m-1$回引く順序を固定すると，赤側の分子は$1\cdot 2\cdots k$，赤以外側は初期値2から始まるので$2\cdot 3\cdots (N-k+1)$となる。固定順序の確率に${}_N{\mathrm{C}}_k$を掛ければ一般式が直接得られる。

(1)

以下の一般式に$N=3$を代入すると$$p_3(m)={\displaystyle \frac{5-m}{10}}(1\leqq m\leqq 4)\mathrm{.}$$したがって$$p_3(1):p_3(2):p_3(3):p_3(4)=4:3:2:1.$$(2)

黄と青をまとめて「赤以外」とみなす。初めに赤は1個，赤以外は2個ある。
$N$回中，赤を引く回数を$$k=m-1$$とする。

赤が$k$回，赤以外が$N-k$回出る順序を一つ固定する。赤を引く各回の分子の積は$k!$，赤以外を引く各回の分子の積は$$2\cdot 3\cdots (N-k+1)=(N-k+1)!$$である。各回の全玉数の積は$$3\cdot 4\cdots (N+2)={\displaystyle \frac{(N+2)!}{2}}\mathrm{.}$$したがって固定順序の確率は$${\displaystyle \frac{2k!(N-k+1)!}{(N+2)!}}\mathrm{.}$$これは順序によらない。赤が出る位置は${}_N{\mathrm{C}}_k$通りだから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_N(k+1)}& {\displaystyle ={}_N{\mathrm{C}}_k{\displaystyle \frac{2k!(N-k+1)!}{(N+2)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(N-k+1)}{(N+1)(N+2)}}\mathrm{.}}\end{array}$$$k=m-1$より$$p_N(m)={\displaystyle \frac{2(N-m+2)}{(N+1)(N+2)}}(1\leqq m\leqq N+1)$$を得る。