名大 2008年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

まず行列 $A$ が満たす2次関係 $A^{2} + 2 A + 2 E = O$ を計算し， $A^{3}, A^{4}$ を $A, E$ の一次結合で表す。条件式に代入すれば $A$ の係数と $E$ の係数がともに0となり， $b, c$ が $a$ で決まる。すると $f (x)$ は $x^{2} + 2 x + 2$ ともう1つの2次式に因数分解される。前者は実数解を持たないので，正の解の存在は後者 $x^{2} + (a - 2) x + 1 = 0$ の正根条件に帰着する。

解答

(1)

まず $A$ について計算する。 $A = (\begin{array}{cc} - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{array})$ より $A^{2} = (\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ - 2 & 0 \end{array})$ である。したがって $A^{2} + 2 A + 2 E = O$ が成り立つ。よって $A^{2} = - 2 A - 2 E$ であり， $A^{3} = A (- 2 A - 2 E) = - 2 A^{2} - 2 A = 2 A + 4 E,$ $A^{4} = A (2 A + 4 E) = 2 A^{2} + 4 A = - 4 E$ である。

これらを条件 $A^{4} + a A^{3} + b A^{2} + c A + 2 E = O$ に代入すると， $- 4 E + a (2 A + 4 E) + b (- 2 A - 2 E) + c A + 2 E = O$ である。 $A$ の係数と $E$ の係数をまとめると $(2 a - 2 b + c) A + (- 2 + 4 a - 2 b) E = O$ となる。もし $α A + β E = O$ なら，左上成分と右上成分を見ることで $α = 0, β = 0$ が分かる。したがって $2 a - 2 b + c = 0, - 2 + 4 a - 2 b = 0$ である。これを解いて $b = 2 a - 1, c = 2 a - 2$ を得る。

(2)

(1) より $f (x) = x^{4} + a x^{3} + (2 a - 1) x^{2} + (2 a - 2) x + 2$ である。この式は $\begin{aligned} f (x) & = (x^{2} + 2 x + 2) {x^{2} + (a - 2) x + 1} \end{aligned}$ と因数分解できる。実際，右辺を展開すると $x^{4} + a x^{3} + (2 a - 1) x^{2} + (2 a - 2) x + 2$ になる。

ここで $x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1)^{2} + 1$ であるから，これは実数解を持たない。したがって $f (x) = 0$ が正の解を持つことは， $x^{2} + (a - 2) x + 1 = 0$ が正の解を持つことと同値である。

この2次方程式の2解の積は $1$ で正である。よって実数解を持ち，かつ2解の和 $- (a - 2) = 2 - a$ が正であれば，2解はいずれも正である。逆に正の解を少なくとも1つ持つなら，積が正であるためもう一方の解も正であり，2解の和も正でなければならない。

したがって必要十分条件は $(a - 2)^{2} - 4 ≧ 0, 2 - a > 0$ である。前者は $a ≦ 0 または a ≧ 4$ であり，後者は $a < 2$ であるから，両方を満たす範囲は $a ≦ 0$ である。 $a = 0$ のときは $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ となり，正の解 $x = 1$ を持つので端点も含まれる。

別解

解法2（多項式の割り切れから求める方法）

方針

行列 $A$ が $A^{2} + 2 A + 2 E = O$ を満たすことから、条件 $f (A) = O$ を「 $f (x)$ が $x^{2} + 2 x + 2$ で割り切れる」と読み替える。(1)は商の係数比較、(2)は残った2次因子の正根条件を $x + 1 / x$ で処理する。

解答

(1)
直接計算すると $A^{2} + 2 A + 2 E = O$ である。また $A$ は定数行列ではないので、 $A$ を零点にもつ最低次数の多項式は $x^{2} + 2 x + 2$ である。したがって $f (A) = O$ であるためには、4次多項式 $f (x)$ が $x^{2} + 2 x + 2$ で割り切れる必要がある。

$f (x)$ は最高次係数が $1$ 、定数項が $2$ だから、商を $x^{2} + u x + 1$ とおける。そこで $\begin{aligned} f (x) & = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} + u x + 1) \\ = x^{4} + (u + 2) x^{3} + (2 u + 3) x^{2} + (2 u + 2) x + 2. \end{aligned}$ $x^{3}$ の係数から $u = a - 2$ である。よって $b = 2 u + 3 = 2 a - 1, c = 2 u + 2 = 2 a - 2.$ (2)
(1)より $f (x) = (x^{2} + 2 x + 2) {x^{2} + (a - 2) x + 1} .$ 第1因子は $(x + 1)^{2} + 1 > 0$ なので、正根は第2因子から生じる。正根を $x > 0$ とすると $x^{2} + (a - 2) x + 1 = 0$ を $x$ で割って $x + \frac{1}{x} = 2 - a$ を得る。左辺は $x > 0$ で $2$ 以上の値をすべてとるから、正根が存在するための必要十分条件は $2 - a ≧ 2,$ すなわち $a ≦ 0$ である。

総評

行列の問題に見えるが，核心は $A$ が満たす2次関係を使って4次式を2次式の積へ落とすことである。想定時間は18分前後，難易度は6，計算量は5程度。 $A$ と $E$ の係数比較では，それらが独立に扱える理由を成分で一言確認すると厳密になる。正の解条件では，積が $1$ で正であるため「1つ正」なら実は2解とも正になる点が重要である。判別式だけで終えると，負の2解を含む可能性を見落とす。

出典: 名古屋大学 2008年度前期理系数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

別解

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解答

総評

名古屋大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問