名古屋大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
1年後，$A$ 町に残るのは $A$ 町の前年住民の6割であり，$B$ 町からは2割が移ってくる。したがって $$a_1={\displaystyle \frac{3}{5}}{a}_0+{\displaystyle \frac{1}{5}}{b}_0,b_1={\displaystyle \frac{2}{5}}{a}_0+{\displaystyle \frac{4}{5}}{b}_0$$ である。よって$$M=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& {\displaystyle \frac{1}{5}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}\right)$$である。

(2)
直接計算すると$$M^2=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{11}{25}}& {\displaystyle \frac{7}{25}}\\ {\displaystyle \frac{14}{25}}& {\displaystyle \frac{18}{25}}\end{array}\right)$$である。一方$${\displaystyle \frac{7}{5}}M-{\displaystyle \frac{2}{5}}E=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{21}{25}}-{\displaystyle \frac{10}{25}}& {\displaystyle \frac{7}{25}}\\ {\displaystyle \frac{14}{25}}& {\displaystyle \frac{28}{25}}-{\displaystyle \frac{10}{25}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{11}{25}}& {\displaystyle \frac{7}{25}}\\ {\displaystyle \frac{14}{25}}& {\displaystyle \frac{18}{25}}\end{array}\right)$$だから $$M^2-{\displaystyle \frac{7}{5}}M+{\displaystyle \frac{2}{5}}E=O$$ である。これは $$M^2-M-{\displaystyle \frac{2}{5}}M+{\displaystyle \frac{2}{5}}E=O$$ すなわち $M(M-E)={\displaystyle \frac{2}{5}}(M-E)$ と書ける。したがって $$\alpha =1,\beta ={\displaystyle \frac{2}{5}}$$ である。

(3)
(2)より $M(M-E)={\displaystyle \frac{2}{5}}(M-E)$ であり，問題文の通り $1$ と ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ を入れ換えた式も成り立つので $$M(M-{\displaystyle \frac{2}{5}}E)=M-{\displaystyle \frac{2}{5}}E$$ である。ここで $$P={\displaystyle \frac{5}{3}}(M-{\displaystyle \frac{2}{5}}E),Q=-{\displaystyle \frac{5}{3}}(M-E)$$ とおくと，$P+Q=E$ であり，さらに $$MP=P,MQ={\displaystyle \frac{2}{5}}Q$$ である。したがって $$M^n=M^n(P+Q)=P+{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n}Q$$ となる。すなわち$$M^n={\displaystyle \frac{5}{3}}(M-{\displaystyle \frac{2}{5}}E)-{\displaystyle \frac{5}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n(M-E)$$である。成分を整理すると$$M^n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n& {\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n& {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n\end{array}\right)$$である。

(4) $M^n$ の式より$$a_n=({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n)a_0+({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n)b_0,$$$$b_n=({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n)a_0+({\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n)b_0$$である。$n\to \mathrm{\infty }$ のとき $({\displaystyle \frac{2}{5}}{)}^n\to 0$ だから，両町の合計人口 $a_0+b_0$ を用いて $$a_n\to {\displaystyle \frac{a_0+b_0}{3}},b_n\to {\displaystyle \frac{2(a_0+b_0)}{3}}$$ となる。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(4) の検算（総人口を用いる方法）

極限だけなら，合計人口 $T=a_n+b_n$ が一定であることを使ってもよい。$b_n=T-a_n$ とおくと $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{5}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{5}}{b}_n={\displaystyle \frac{2}{5}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{5}}T$$ である。両辺から $T\mathrm{/}3$ を引くと $$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{T}{3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}(a_n-{\displaystyle \frac{T}{3}})$$ となるので，$a_n\to T\mathrm{/}3$，$b_n=T-a_n\to 2T\mathrm{/}3$ が直接分かる。これも上の極限 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ と一致する。

長期的には流出数が等しくなり，人口比は $A:B=1:2$ に近づく．