名大 2005年度理系（後期）数学第1問｜問題・解答・解説

方針

与えられた等式は展開すると $(X + Y) (X - Y) = X^{2} - X Y + Y X - Y^{2}$ であり，右辺 $X^{2} - Y^{2}$ と比べて $Y X = X Y$ と同値になる。したがって(1)は行列の成分比較で $b, c$ を $a$ で表す。(2)では(1)を代入すると $X + Y = 3 E$ となるので， $Z = (X + Y)^{2}$ を使えば成分計算をほぼ避けられる。(3)は(1)で得た $X$ を用いて $X^{4}$ の非対角成分を調べ，実数条件で消える場合を絞る。

解答

(1)

まず与式を展開する。 $(X + Y) (X - Y) = X^{2} - X Y + Y X - Y^{2}$ である。これが $X^{2} - Y^{2}$ に等しいので $- X Y + Y X = 0$ すなわち $X Y = Y X$ である。

成分を比較する。計算すると $X Y = (\begin{array}{cc} a c + (2 - a) (2 - c) & a (1 - c) + c (2 - a) \\ (1 - a) c + (3 - b) (2 - c) & (1 - a) (1 - c) + c (3 - b) \end{array})$ であり， $Y X = (\begin{array}{cc} a c + (1 - c) (1 - a) & 2 c - a c + (1 - c) (3 - b) \\ (2 - c) a + c (1 - a) & (2 - c) (2 - a) + c (3 - b) \end{array})$ である。対応する成分を比較して整理すると $b = 3 - a, c = 3 - a$ を得る。

(2)

(1) を代入すると $X = (\begin{array}{cc} a & 2 - a \\ 1 - a & a \end{array}), Y = (\begin{array}{cc} 3 - a & a - 2 \\ a - 1 & 3 - a \end{array})$ である。したがって $X + Y = (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) = 3 E$ となる。

また(1)より $X Y = Y X$ であるから $Z = X^{2} + 2 X Y + Y^{2} = (X + Y)^{2}$ とまとめられる。よって $Z = (3 E)^{2} = 9 E = (\begin{array}{cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array})$ である。

(3)

(1) より $X = (\begin{array}{cc} a & 2 - a \\ 1 - a & a \end{array})$ である。この $X$ について $X^{4}$ を計算し，非対角成分だけに注目する。 $X^{4} = k E$ なら非対角成分はともに0でなければならない。

計算すると， $X^{4}$ の $(1, 2)$ 成分は $- 4 a (a - 2) (2 a^{2} - 3 a + 2)$ であり， $(2, 1)$ 成分は $- 4 a (a - 1) (2 a^{2} - 3 a + 2)$ である。ここで $2 a^{2} - 3 a + 2 = 2 {(a - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{7}{8} > 0$ であるから，実数 $a$ に対して0にはならない。

したがって非対角成分がともに0になるには $a (a - 2) = 0, a (a - 1) = 0$ が同時に成り立つ必要がある。これを満たす実数は $a = 0$ だけである。

このとき $X = (\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array})$ であり， $X^{2} = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}) = 2 E$ だから $X^{4} = (2 E)^{2} = 4 E$ である。よって $X = (\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}), k = 4$ である。

別解

解法2（行列の2乗から絞る）

方針

可換条件の成分比較で $b, c$ を決め、 $X + Y$ から $Z$ を求める。(3)では $X^{4}$ を全部展開せず、まず $X^{2}$ の対角成分が等しい形を作る。もう一度2乗したときの非対角成分だけで $a$ を絞る。

解答

(1)

与式を展開すると $X^{2} - X Y + Y X - Y^{2} = X^{2} - Y^{2}$ なので $X Y = Y X$ である。対角成分の比較から $a + c = 3,$ 非対角成分の比較から $(c - 1) (a + b - 3) = 0, (c - 2) (a + b - 3) = 0$ を得る。 $c$ が同時に1かつ2になることはないので $a + b = 3$ 。よって $b = 3 - a, c = 3 - a .$ (2)

(1) を代入すると $X + Y = 3 E$ である。また $X Y = Y X$ だから $Z = (X + Y)^{2} = 9 E = (\begin{array}{cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}) .$ (3) $X = (\begin{array}{cc} a & 2 - a \\ 1 - a & a \end{array})$ より $X^{2} = (\begin{array}{cc} d & 2 a (2 - a) \\ 2 a (1 - a) & d \end{array}), d = 2 a^{2} - 3 a + 2.$ ここで $d = 2 {(a - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{7}{8} > 0.$ $X^{4} = (X^{2})^{2}$ の2つの非対角成分は $4 a d (2 - a), 4 a d (1 - a)$ である。両方が0でなければならず、 $d > 0$ だから $a (2 - a) = 0, a (1 - a) = 0.$ 共通する解は $a = 0$ だけである。このとき $X = (\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}), X^{2} = 2 E,$ したがって $X^{4} = 4 E, k = 4.$

総評

難度6、計算量7。行列の可換条件を成分計算で処理する問題で、目安は25分程度である。(1)では与式を展開して $X Y = Y X$ に直すのが最初の要点である。(2)は $X + Y = 3 E$ に気づけば非常に短く、ここで無理に $X^{2}, X Y, Y^{2}$ を全部計算すると時間を失う。(3)は $X^{4}$ の全成分を展開するより、まず非対角成分が0になる条件で $a$ を絞るのが安全である。 $2 a^{2} - 3 a + 2 > 0$ の確認を省くと、余分な実数解を疑わせる答案になる。

出典: 名古屋大学 2005年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

名古屋大学 2005年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問