名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$M=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$$ とおくと，$$M^2={\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -3\end{array}\right)=-3E$$である。したがって，$k\geqq 1$ に対して $$M^{2k-2}=(-3{)}^{k-1}E,M^{2k-1}=(-3{)}^{k-1}M$$ となる。

まず $P_{2k-1}$ は$$P_{2k-1}=M^{2k-2}\left(\begin{array}{c}s\\ 1\end{array}\right)=(-3{)}^{k-1}\left(\begin{array}{c}s\\ 1\end{array}\right)$$である。よって $s$ が動くと $y=(-3{)}^{k-1}$ 上を動くから $$l_{2k-1}:y=(-3{)}^{k-1}$$ である。

次に$$P_{2k}=M^{2k-1}\left(\begin{array}{c}s\\ 1\end{array}\right)=(-3{)}^{k-1}\left(\begin{array}{c}s-2\\ 2s-1\end{array}\right)$$である。点の座標を $(x,y)$ とすると $$x=(-3{)}^{k-1}(s-2),y=(-3{)}^{k-1}(2s-1)$$ である。$A=(-3{)}^{k-1}$ とおけば，$x=A(s-2)$ から $s=x\mathrm{/}A+2$ であり，$$y=A(2{\displaystyle \frac{x}{A}}+4-1)=2x+3A\mathrm{.}$$ したがって $$l_{2k}:y=2x+3(-3{)}^{k-1}$$ である。

(2)

円 $C_k$ の中心は，$l_{2k-1}$ と $y$ 軸の交点なので $O_k=(0,(-3{)}^{k-1})$ である。$l_{2k}$ を $2x-y+3(-3{)}^{k-1}=0$ と書く。点 $O_k$ からこの直線までの距離が半径 $r_k$ であるから$$r_k={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 0-(-3{)}^{k-1}+3(-3{)}^{k-1}\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{2\cdot 3^{k-1}}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$よって $$r_k^2={\displaystyle \frac{4\cdot 9^{k-1}}{5}}$$ である。したがって円 $C_k$ の方程式は $$x^2+\{y-(-3{)}^{k-1}{\}}^2={\displaystyle \frac{4\cdot 9^{k-1}}{5}}$$ である。

図は $k=1$ の配置．一般の $k$ でも平行移動・拡大された同じ形になる．