名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$$である。まず$${\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$なので$$A^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$である。さらに$$A^3=A^{2}A={\displaystyle \frac{1}{8}}\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{8}}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

(2)

初期値は $(a_1,b_1,c_1)=(1,0,0)$ である。

まず$$\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$であり，$$c_2=c_1+\sqrt{a_1{b}_1}=0+0=0$$ である。したがって $$P_2=(0,{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$ である。

次に$$\left(\begin{array}{c}{a}_3\\ b_3\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$$であり，$$c_3=c_2+\sqrt{a_2{b}_2}=0$$ である。よって $$P_3=(-{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{4}},0)$$ である。

さらに$$\left(\begin{array}{c}{a}_4\\ b_4\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{8}}\\ 0\end{array}\right)$$であり，$$c_4=c_3+\sqrt{a_3{b}_3}=0+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{16}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって $$P_4=({\displaystyle \frac{1}{8}},0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である。

(3)

(1) より $A^3={\displaystyle \frac{1}{8}}E$ であるから，$(a_n,b_n)$は3つ進むごとに$1\mathrm{/}8$倍される。$k=0,1,2,\dots$として，(2)の結果から $$(a_{3k+1},b_{3k+1})=({\displaystyle \frac{1}{8^k}},0),$$ $$(a_{3k+2},b_{3k+2})=(0,{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 8^k}}),$$ $$(a_{3k+3},b_{3k+3})=(-{\displaystyle \frac{1}{4\cdot 8^k}},-{\displaystyle \frac{1}{4\cdot 8^k}})$$ である。

次に$c_n$を求める。$$c_{n+1}=c_n+\sqrt{a_n{b}_n}$$であり，$a_n{b}_n$が正になるのは $$n=3j+3(j=0,1,2,\dots )$$ のときだけである。このとき$$\sqrt{a_{3j+3}{b}_{3j+3}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{16\cdot 8^{2j}}}}={\displaystyle \frac{1}{4\cdot 8^j}}$$である。したがって，$3k+1,3k+2,3k+3$番目までは，$j=0,1,\dots ,k-1$の増加分が加わっており，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_{3k+1}=c_{3k+2}=c_{3k+3}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{8}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{8^{k-1}}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(1\mathrm{/}8{)}^k}{1-1\mathrm{/}8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{7}}(1-{\displaystyle \frac{1}{8^k}})}\end{array}$$である。$k=0$のときは和が空であり，右辺も0になる。

以上より，$k=0,1,2,\dots$に対して$$P_{3k+1}=({\displaystyle \frac{1}{8^k}},0,{\displaystyle \frac{2}{7}}(1-{\displaystyle \frac{1}{8^k}}))$$$$P_{3k+2}=(0,{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 8^k}},{\displaystyle \frac{2}{7}}(1-{\displaystyle \frac{1}{8^k}}))$$$$P_{3k+3}=(-{\displaystyle \frac{1}{4\cdot 8^k}},-{\displaystyle \frac{1}{4\cdot 8^k}},{\displaystyle \frac{2}{7}}(1-{\displaystyle \frac{1}{8^k}}))$$である。