名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$$とおく。

(1) $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& b(a+d)\\ 0& d^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$A^2=E$の条件は$$a^2=d^2=1,b(a+d)=0.$$$a=d=1$または$a=d=-1$では$b=0$である。$a,d$が異符号なら$a+d=0$なので$b$は任意でよい。よって$$A=E,-E,\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& b\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。ただし後ろ2個の$b$は任意の実数である。

(2)

$A^3=E$の対角成分から$$a^3=d^3=1.$$$a,d$は実数だから$a=d=1$である。このとき$$A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3b\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$3b=0$，すなわち$b=0$である。よって$$A=E$$だけである。

(3)

$A^4=E$の対角成分から$a^4=d^4=1$であり，実数条件より$$a,d\in \{1,-1\}\mathrm{.}$$$a=d=1$では$A^4$の右上成分は$4b$，$a=d=-1$では$-4b$である。したがっていずれも$b=0$となり，$A=\pm E$なので$A^2=E$である。

$a,d$が異符号なら$a+d=0$であるから$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& b(a+d)\\ 0& d^2\end{array}\right)=E\mathrm{.}$$以上より，$A^4=E$ならば必ず$A^2=E$である。

(1) は$A^2$を直接計算する。(2)では$A^3-E=(A-E)(A^2+A+E)$，(3)では$A^4-E=(A^2-E)(A^2+E)$と因数分解する。後ろの因子は上三角行列で対角成分が正になるため逆行列をもち，零積から前の因子が零行列と分かる。

(1) $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& b(a+d)\\ 0& d^2\end{array}\right)$$より，条件は$a^2=d^2=1$，$b(a+d)=0$である。したがって$$A=E,-E,\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& b\\ 0& 1\end{array}\right),$$ただし後ろ2個では$b$は任意の実数である。

(2) $$A^3-E=(A-E)(A^2+A+E)=O\mathrm{.}$$$A^2+A+E$は上三角行列で，その対角成分は$$a^2+a+1={(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0,$$$$d^2+d+1={(d+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0.$$したがって$A^2+A+E$は逆行列をもつ。右からその逆行列を掛けると$$A-E=O,$$ゆえに$A=E$である。

(3) $$A^4-E=(A^2-E)(A^2+E)=O\mathrm{.}$$$A^2+E$は上三角行列で，対角成分は$a^2+1>0$，$d^2+1>0$である。よって$A^2+E$は逆行列をもつから$$A^2-E=O\mathrm{.}$$したがって$A^2=E$である。