方針
(1) は x を固定して y の個数を数え，x の偶奇で床関数を外す。(2)は不等式を 3x+2y+z≦60 に直し，x,y を固定したときの z の個数 61−3x−2y を足す。ここでも x の偶奇で y の上限が変わるため，x=2j，x=2j+1 に分け，内側の等差数列の和を整理する。
解答
(1) x を固定すると 0≦y≦22008−3x であり，0≦x≦669 である。 x=2j (0≦j≦334) のとき，0≦y≦1004−3j なので，y の個数は 1005−3j である。 x=2j+1 (0≦j≦334) のとき，0≦y≦1002−3j なので，y の個数は 1003−3j である。
したがって求める個数はj=0∑334(1005−3j)+j=0∑334(1003−3j)=168840+168170=337010である。
(2)
与えられた不等式に6を掛けると 3x+2y+z≦60 となる。x,y を固定すると，z は 0≦z≦60−3x−2y を満たすので，その個数は 61−3x−2y である。ただし 3x+2y≦60 が必要である。
まず x=2j とおく。0≦j≦10 であり，0≦y≦30−3j である。このときの個数の和はy=0∑30−3j(61−6j−2y)=(31−3j)(61−6j)−2⋅2(30−3j)(31−3j)=(31−3j){61−6j−(30−3j)}=(31−3j)2.次に x=2j+1 とおく。0≦j≦9 であり，0≦y≦28−3j である。このときの個数の和はy=0∑28−3j(58−6j−2y)=(29−3j)(58−6j)−2⋅2(28−3j)(29−3j)=(29−3j){58−6j−(28−3j)}=(29−3j)(30−3j).よって求める個数は j=0∑10(31−3j)2+j=0∑9(29−3j)(30−3j) である。順に計算すると j=0∑10(31−3j)2=4301, j=0∑9(29−3j)(30−3j)=2805 なので，合計は 4301+2805=7106 である。
総評
整数点を固定して足し上げる典型問題だが，(2)は3変数になった分だけ和の範囲管理が重要である。想定時間は16分から20分，難易度は5，計算量は5程度。z を最後に決めると個数が 61−3x−2y と直線的に出るため，二重和が整理しやすい。偶数 x では j=0 から 10，奇数 x では j=0 から 9 で止まる点と，端点を含むため個数に 1 を足す点が主な落とし穴である。
冊子PDFで見る名大の整数の問題で問題集を作る
出典: 名古屋大学 2008年度 前期 理系 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
Evolton