名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数理系数学 第4問(b)

(1)

袋 $B$ には5個中3個の赤玉がある。2個取り出すとき，それぞれの取り出し位置について赤玉である確率は $3\mathrm{/}5$ である。したがって赤玉の個数の期待値は $$2\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$$ である。

(2)

袋 $A$ から3個取り出したときの赤玉の個数を $i$ とする。袋 $A$ には赤玉4個，白玉4個があるので，$$P(i=0)={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_0{}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_8{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{1}{14}},$$$$P(i=1)={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_1{}_4{\mathrm{C}}_2}{{}_8{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{3}{7}},$$$$P(i=2)={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_2{}_4{\mathrm{C}}_1}{{}_8{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{3}{7}},$$$$P(i=3)={\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_3{}_4{\mathrm{C}}_0}{{}_8{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{1}{14}}$$である。

また，袋 $B$ から2個取り出すとき，赤玉が0個，1個，2個である確率はそれぞれ$${\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_5{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{1}{10}},{\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_1{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_5{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_5{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$$である。

5個の玉のうち赤玉が3個になるのは，$$(i,\text{袋 }B\text{ からの赤玉数})=(1,2),(2,1),(3,0)$$ の場合である。したがって求める確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{70}}+{\displaystyle \frac{18}{70}}+{\displaystyle \frac{1}{140}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{55}{140}}={\displaystyle \frac{11}{28}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

袋 $A$ から最初に3個取り出したときの赤玉の個数を $i$ とする。このとき袋 $A$ には赤玉が $4-i$ 個，白玉が $1+i$ 個，合計5個残っている。したがって，残った袋 $A$ からさらに2個取り出すときの赤玉の期待値は $$2\cdot {\displaystyle \frac{4-i}{5}}={\displaystyle \frac{8-2i}{5}}$$ である。一方，袋 $B$ から2個取り出すときの赤玉の期待値は(1)より ${\displaystyle \frac{6}{5}}$ である。

よって追加で取る2個については，$i=0\text{ なら袋 }A,$ $i=1\text{ ならどちらでも同じ},$ $i=2,3\text{ なら袋 }B$ を選べばよい。

(2) で求めた分布より$$P(i=0)={\displaystyle \frac{1}{14}},P(i=1)={\displaystyle \frac{3}{7}},P(i=2)={\displaystyle \frac{3}{7}},P(i=3)={\displaystyle \frac{1}{14}}$$である。各場合の最終的な赤玉個数の期待値は，すでに得た $i$ 個に，選んだ袋からの期待値を加えて $$i=0:{\displaystyle \frac{8}{5}},$$ $$i=1:1+{\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{11}{5}},$$ $$i=2:2+{\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{16}{5}},$$ $$i=3:3+{\displaystyle \frac{6}{5}}={\displaystyle \frac{21}{5}}$$ である。したがって求める期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{16}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{14}}\cdot {\displaystyle \frac{21}{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{70}}+{\displaystyle \frac{66}{70}}+{\displaystyle \frac{96}{70}}+{\displaystyle \frac{21}{70}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{191}{70}}\mathrm{.}}\end{array}$$

最初に赤を多く引くほど袋 $A$ の赤玉が減るため、最適な選択が切り替わる。